Поставим координаты так, чтобы центр основания (точка пересечения диагоналей квадрата) оказался в начале. При AB=24 половина стороны равна 12.

A(-12;-12;0), B(12;-12;0), C(12;12;0), D(-12;12;0), вершина S(0;0;H), где H — высота.

Точка M — середина AB: M(0;-12;0).

Пункт а. Плоскость \alpha проходит через M параллельно плоскости SBC. Две параллельные плоскости пересекают любую третью по параллельным прямым.

Плоскость грани SAB пересекает \alpha по прямой, параллельной SB. Проведём через M прямую MP\parallel SB; так как M — середина AB, по теореме о средней линии треугольника SAB точка P — середина SA.

Аналогично \alpha пересекает плоскость грани SCD по прямой, параллельной SC; она проходит через середину CD и попадает в середину ребра SD. Значит точка K — середина SD, что и требовалось доказать.

Пункт б. Раз K — середина SD, то K\left(-6;6;\dfrac{H}{2}\right). Найдём вектор \vec{MK}:

\vec{MK}=\left(-6;\,18;\,\dfrac{H}{2}\right).

Угол между прямой MK и плоскостью основания — это угол между \vec{MK} и его проекцией на основание (-6;18;0). Тангенс этого угла — отношение «вертикаль : горизонталь»:

\operatorname{tg}30^\circ=\dfrac{H/2}{\sqrt{(-6)^2+18^2}}=\dfrac{H/2}{6\sqrt{10}}.

Так как \operatorname{tg}30^\circ=\dfrac{1}{\sqrt{3}}, получаем \dfrac{H}{2}=\dfrac{6\sqrt{10}}{\sqrt{3}}=2\sqrt{30}, откуда H=4\sqrt{30}.

Объём пирамиды (основание — квадрат со стороной 24):

V=\dfrac{1}{3}\cdot 24^2\cdot H=\dfrac{1}{3}\cdot 576\cdot 4\sqrt{30}=768\sqrt{30}.

Объём пирамиды равен 768\sqrt{30}.

Типичная ошибка: принять угол между MK и основанием за угол при вершине пирамиды. Нужен именно угол наклона самой прямой MK: вертикальная составляющая делится на длину горизонтальной проекции.