Задание 15 ЕГЭ по математике №00042131

Пирамида правильная, поэтому её высота $SO$ опускается в центр $O$ правильного шестиугольника. Шестиугольник состоит из шести равносторонних треугольников со стороной 8, в частности $OC=OD=8$. По условию $MC=BC-BM=8-5=3$, $CK=3$, $CS=SA=11$.

Пункт а (доказательство).

Шаг 1. Опустим из $K$ перпендикуляр $KK'$ на основание. $KK'\parallel SO$, поэтому $K'$ лежит на отрезке $OC$, и по теореме о пропорциональных отрезках

$$\dfrac{CK'}{CO}=\dfrac{CK}{CS}=\dfrac{3}{11},\qquad CK'=\dfrac{3}{11}\cdot8=\dfrac{24}{11}.$$

Шаг 2. Четырёхугольник $OBCD$ — ромб (все стороны равны 8), поэтому $OD\parallel BC$. Пусть прямая $DM$ пересекает $OC$ в точке $Z$. Треугольники $ZCM$ и $ZOD$ подобны ($CM\parallel OD$):

$$\dfrac{CZ}{ZO}=\dfrac{CM}{OD}=\dfrac38\quad\Longrightarrow\quad CZ=\dfrac{3}{11}\,CO=\dfrac{24}{11}.$$

Значит, $Z=K'$: точка $K'$ лежит на прямой $MD$, то есть в плоскости $MKD$.

Шаг 3. Обе точки $K$ и $K'$ лежат в плоскости $MKD$, поэтому и прямая $KK'$ лежит в ней. Но $KK'\perp(ABC)$. Плоскость, проходящая через перпендикуляр к другой плоскости, перпендикулярна ей: $(MKD)\perp(ABC)$. Что и требовалось доказать.

Пункт б (вычисление).

Шаг 1. Какую часть отрезает плоскость. Основание она режет по отрезку $MD$, грань $SBC$ — по $MK$, грань $SCD$ — по $KD$. Точка $O$ лежит по другую сторону от прямой $MD$, чем $C$ (ведь $Z$ лежит между $C$ и $O$), и остальные вершины тоже. Значит, от пирамиды отрезается тетраэдр $KCMD$.

Шаг 2. Его объём: основание — треугольник $CMD$, высота — $KK'=\dfrac{3}{11}\,SO$ (из того же подобия, что в шаге 1 пункта а).

$$S_{CMD}=\dfrac12\cdot CM\cdot CD\cdot\sin120^\circ=\dfrac12\cdot3\cdot8\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=6\sqrt3.$$

Шаг 3. Площадь основания пирамиды: $S_{ABCDEF}=6\cdot\dfrac{\sqrt3}{4}\cdot8^2=96\sqrt3$. Сравним объёмы, высоту $SO$ даже не вычисляя:

$$\dfrac{V_{KCMD}}{V_{SABCDEF}}=\dfrac{\frac13\cdot6\sqrt3\cdot\frac{3}{11}SO}{\frac13\cdot96\sqrt3\cdot SO}=\dfrac{6\cdot3}{96\cdot11}=\dfrac{18}{1056}=\dfrac{3}{176}.$$

Шаг 4. Тогда вторая часть составляет $\dfrac{176-3}{176}=\dfrac{173}{176}$ объёма, и плоскость делит объём в отношении $3:173$.

Проверим себя: $SO=\sqrt{121-64}=\sqrt{57}$, $V=\dfrac13\cdot96\sqrt3\cdot\sqrt{57}\approx418{,}5$, $V_{KCMD}=\dfrac13\cdot6\sqrt3\cdot\dfrac{3\sqrt{57}}{11}\approx7{,}13$; $\dfrac{418{,}5-7{,}13}{7{,}13}\approx57{,}7\approx\dfrac{173}{3}$. Сходится.