Задание 14 ЕГЭ по математике: В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC точки M…

Разберёмся, что нам дано. В правильной треугольной пирамиде SABC отмечены четыре точки: M — середина ребра AB, K — середина ребра SC, N на ребре SA (причём AN=3NS, то есть N ближе к вершине S) и L на ребре BC. Самое важное слово в условии — «отрезки MK и NL пересекаются». Именно оно связывает четыре точки в одну конструкцию.

Действительно, если два отрезка пересекаются, то они лежат в одной плоскости (две пересекающиеся прямые всегда задают плоскость). Обозначим эту плоскость \beta — в ней лежат все четыре точки M, N, K, L.

Пункт а (доказательство).

Заметим, где живут наши прямые. Точки M и N лежат на рёбрах AB и SA, то есть обе — в плоскости SAB; значит вся прямая MN лежит в плоскости SAB. Точки K и L лежат на рёбрах SC и BC, то есть обе — в плоскости SBC; значит прямая KL лежит в плоскости SBC. А ребро SB — это в точности линия пересечения плоскостей SAB и SBC.

Шаг 1. Проверим, что плоскость \beta не совпадает с плоскостью SAB: точка K — середина ребра SC — в плоскости SAB не лежит (иначе в ней лежала бы и вершина C, и пирамида была бы плоской). Значит \beta и SAB пересекаются по прямой, и эта прямая содержит обе общие точки M и N, то есть это прямая MN. Точно так же \beta пересекает плоскость SBC по прямой KL (здесь мешающая точка — M, она не лежит в плоскости SBC).

Шаг 2. Покажем, что прямая SB не параллельна плоскости \beta. Предположим противное. Тогда линия пересечения \beta с плоскостью SAB, то есть прямая MN, была бы параллельна SB. Но в треугольнике SAB прямая, проходящая через середину M стороны AB параллельно стороне SB, — это средняя линия, и она пересекает сторону SA ровно в её середине. Тогда N была бы серединой SA, то есть AN=NS, а по условию AN=3NS. Противоречие.

Шаг 3. Значит прямая SB пересекает плоскость \beta ровно в одной точке; назовём её X.

Точка X лежит на прямой SB, а та лежит в плоскости SAB; кроме того, X лежит в \beta. Значит X — общая точка плоскостей SAB и \beta, то есть лежит на линии их пересечения — на прямой MN.

Тем же рассуждением: SB лежит и в плоскости SBC, поэтому X — общая точка плоскостей SBC и \beta, то есть лежит на прямой KL.

Итак, точка X принадлежит сразу трём прямым: MN, KL и SB. Значит эти три прямые пересекаются в одной точке. Что и требовалось доказать.

Пункт б (вычисление).

Работать будем с той самой точкой X и теоремой Менелая. Напомню её словами: если прямая пересекает стороны треугольника (или их продолжения) в трёх точках, то произведение трёх отношений, в которых эти точки делят стороны при обходе треугольника, равно единице.

Шаг 1. Возьмём треугольник SAB и секущую, проходящую через точки N (на стороне SA), M (на стороне AB) и X (на прямой BS). Теорема Менелая даёт

\dfrac{SN}{NA}\cdot\dfrac{AM}{MB}\cdot\dfrac{BX}{XS}=1.

Подставляем известное: из AN=3NS следует \dfrac{SN}{NA}=\dfrac13; так как M — середина, \dfrac{AM}{MB}=1. Получаем

\dfrac13\cdot1\cdot\dfrac{BX}{XS}=1, то есть \dfrac{BX}{XS}=3.

Шаг 2. Теперь возьмём треугольник SBC и секущую через точки K (на стороне SC), L (на стороне BC) и ту же самую точку X (на прямой BS):

\dfrac{SK}{KC}\cdot\dfrac{CL}{LB}\cdot\dfrac{BX}{XS}=1.

Так как K — середина ребра SC, первое отношение равно 1, а третье мы только что нашли:

1\cdot\dfrac{CL}{LB}\cdot3=1, откуда \dfrac{CL}{LB}=\dfrac13.

Переворачиваем и получаем \dfrac{BL}{LC}=3, то есть BL:LC=3:1.

Проверим себя. Если разложить все точки по векторам от вершины S, то при найденном отношении отрезки MK и NL и правда пересекаются: точка пересечения делит MK в отношении 3:1 от M и оказывается ровно серединой отрезка NL. Значит условие задачи выполнено, и ответ согласован.