Задание 14 ЕГЭ по математике №00014431

Задачу удобно решить координатами. Поместим центр основания $O$ в начало координат. У правильного шестиугольника со стороной $a$ радиус описанной окружности равен той же стороне, поэтому при $AB=6$ вершины основания лежат на окружности радиуса $6$.

Зададим координаты: $A(6;0;0)$, $B(3;3\sqrt{3};0)$, $C(-3;3\sqrt{3};0)$, $D(-6;0;0)$, $E(-3;-3\sqrt{3};0)$, $F(3;-3\sqrt{3};0)$, а вершина $S(0;0;h)$, где $h$ — искомая высота.

Точки $K$ и $M$ — середины боковых рёбер $SA$ и $SD$:

$$K\left(3;0;\dfrac{h}{2}\right),\qquad M\left(-3;0;\dfrac{h}{2}\right).$$

Пункт а. Чтобы доказать, что прямые $BK$ и $CM$ лежат в одной плоскости, найдём их направляющие векторы:

$$\vec{BK}=K-B=\left(0;\,-3\sqrt{3};\,\dfrac{h}{2}\right),\qquad \vec{CM}=M-C=\left(0;\,-3\sqrt{3};\,\dfrac{h}{2}\right).$$

Векторы равны, значит прямые $BK$ и $CM$ параллельны. А две параллельные прямые всегда лежат в одной плоскости — обозначим её $\alpha$. Утверждение доказано.

Пункт б. Плоскость $\alpha$ содержит точки $B,C$ (они в основании, на прямой $y=3\sqrt{3}$) и $K,M$ (выше, на уровне $z=\dfrac{h}{2}$). С плоскостью основания $\alpha$ пересекается по прямой $BC$.

Двугранный угол между $\alpha$ и основанием отсчитываем вдоль $BC$. Возьмём середину $BC$ — точку $(0;3\sqrt{3};0)$ — и середину $KM$ — точку $\left(0;0;\dfrac{h}{2}\right)$. Отрезок между ними лежит в $\alpha$ и перпендикулярен $BC$.

Его проекция на основание имеет длину $3\sqrt{3}$ (смещение по оси $y$), а подъём равен $\dfrac{h}{2}$. Тангенс угла наклона:

$$\operatorname{tg}60^\circ=\dfrac{h/2}{3\sqrt{3}}.$$

Так как $\operatorname{tg}60^\circ=\sqrt{3}$, получаем $\dfrac{h}{2}=3\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=9$, откуда $h=18$.

Высота пирамиды равна $18$.

Типичная ошибка: перепутать радиус описанной окружности с радиусом вписанной у правильного шестиугольника. Здесь $R=a$, а апофема (вписанный радиус) равна $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ — нужен именно $R$.