Задачу удобно решить координатами. Поместим центр основания O в начало координат. У правильного шестиугольника со стороной a радиус описанной окружности равен той же стороне, поэтому при AB=6 вершины основания лежат на окружности радиуса 6.

Зададим координаты: A(6;0;0), B(3;3\sqrt{3};0), C(-3;3\sqrt{3};0), D(-6;0;0), E(-3;-3\sqrt{3};0), F(3;-3\sqrt{3};0), а вершина S(0;0;h), где h — искомая высота.

Точки K и M — середины боковых рёбер SA и SD:

K\left(3;0;\dfrac{h}{2}\right),\qquad M\left(-3;0;\dfrac{h}{2}\right).

Пункт а. Чтобы доказать, что прямые BK и CM лежат в одной плоскости, найдём их направляющие векторы:

\vec{BK}=K-B=\left(0;\,-3\sqrt{3};\,\dfrac{h}{2}\right),\qquad \vec{CM}=M-C=\left(0;\,-3\sqrt{3};\,\dfrac{h}{2}\right).

Векторы равны, значит прямые BK и CM параллельны. А две параллельные прямые всегда лежат в одной плоскости — обозначим её \alpha. Утверждение доказано.

Пункт б. Плоскость \alpha содержит точки B,C (они в основании, на прямой y=3\sqrt{3}) и K,M (выше, на уровне z=\dfrac{h}{2}). С плоскостью основания \alpha пересекается по прямой BC.

Двугранный угол между \alpha и основанием отсчитываем вдоль BC. Возьмём середину BC — точку (0;3\sqrt{3};0) — и середину KM — точку \left(0;0;\dfrac{h}{2}\right). Отрезок между ними лежит в \alpha и перпендикулярен BC.

Его проекция на основание имеет длину 3\sqrt{3} (смещение по оси y), а подъём равен \dfrac{h}{2}. Тангенс угла наклона:

\operatorname{tg}60^\circ=\dfrac{h/2}{3\sqrt{3}}.

Так как \operatorname{tg}60^\circ=\sqrt{3}, получаем \dfrac{h}{2}=3\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=9, откуда h=18.

Высота пирамиды равна 18.

Типичная ошибка: перепутать радиус описанной окружности с радиусом вписанной у правильного шестиугольника. Здесь R=a, а апофема (вписанный радиус) равна \dfrac{a\sqrt{3}}{2} — нужен именно R.