Задание 14 ЕГЭ по математике: В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC точки M…

Соберём картинку. В правильной треугольной пирамиде SABC отмечены середины: M — середина ребра AB, K — середина ребра SC. Точку R поставили на продолжении ребра SB за вершину S — то есть вне пирамиды. Из неё провели два луча: один задел ребро AS в точке N, другой задел ребро BC в точке L.

Главная мысль: обе прямые RM и RK проходят через одну точку R, поэтому они задают одну плоскость. Назовём её \beta — и вся конструкция окажется плоским сечением пирамиды.

Пункт а (доказательство).

Шаг 1. Убедимся, что прямые RM и RK действительно различны (иначе плоскости не получится). Точка R лежит на прямой SB, а значит в плоскости SAB; точка M лежит на ребре AB, тоже в плоскости SAB. Поэтому вся прямая RM лежит в плоскости SAB. А точка K — середина ребра SC — в плоскости SAB не лежит (иначе в ней оказалась бы и вершина C, и пирамида была бы плоской). Значит K не лежит на прямой RM, прямые RM и RK различны и пересекаются в точке R, то есть задают плоскость \beta.

Шаг 2. Соберём в \beta все четыре нужные точки. Точки M и R лежат в \beta по построению, точка N лежит на прямой RM, значит тоже в \beta. Точка K лежит в \beta, а точка L лежит на прямой RK, значит и она в \beta.

Шаг 3. Посмотрим, что плоскость \beta высекает на поверхности пирамиды. Точка N лежит на ребре SA, точка M — на ребре AB, точка L — на ребре BC, точка K — на ребре SC. Пройдёмся по граням:

в грани SAB лежат N и M, значит сечение даёт отрезок NM; в грани ABC лежат M и L — отрезок ML; в грани SBC лежат L и K — отрезок LK; в грани SAC лежат K и N — отрезок KN.

Значит сечение пирамиды плоскостью \beta — это четырёхугольник NMLK (именно в таком порядке обхода вершин).

Шаг 4. Пирамида — выпуклое тело, а сечение выпуклого тела плоскостью — выпуклая фигура. Значит NMLK — выпуклый четырёхугольник. Его диагонали — это отрезки, соединяющие противоположные вершины, то есть NL и MK. А у выпуклого четырёхугольника диагонали всегда пересекаются (точка пересечения лежит внутри него).

Следовательно, отрезки MK и NL пересекаются. Что и требовалось доказать.

Пункт б (вычисление).

Считать будем теоремой Менелая. Словами она звучит так: если прямая пересекает стороны треугольника или их продолжения в трёх точках, то произведение трёх отношений, в которых эти точки делят стороны при обходе треугольника, равно единице.

Шаг 1. Возьмём треугольник SBC и секущую, проходящую через точки R, K и L: точка K лежит на стороне SC, точка L — на стороне BC, точка R — на продолжении стороны BS. Теорема Менелая даёт

\dfrac{SK}{KC}\cdot\dfrac{CL}{LB}\cdot\dfrac{BR}{RS}=1.

Подставляем: K — середина, поэтому \dfrac{SK}{KC}=1; из условия BL=3LC получаем \dfrac{CL}{LB}=\dfrac13. Тогда

1\cdot\dfrac13\cdot\dfrac{BR}{RS}=1, откуда \dfrac{BR}{RS}=3.

Мы нашли, где именно на продолжении ребра стоит точка R, — это и есть мостик ко второй половине.

Шаг 2. Теперь треугольник SAB и секущая через точки R, N и M: точка N на стороне SA, точка M на стороне AB, точка R на продолжении стороны BS:

\dfrac{SN}{NA}\cdot\dfrac{AM}{MB}\cdot\dfrac{BR}{RS}=1.

Так как M — середина ребра AB, второе отношение равно 1, а третье мы уже нашли:

\dfrac{SN}{NA}\cdot1\cdot3=1, откуда \dfrac{SN}{NA}=\dfrac13.

Переворачиваем отношение и получаем \dfrac{AN}{NS}=3, то есть AN:NS=3:1.

Проверим себя: точка N вышла ближе к вершине S, чем к A, — и это согласуется с тем, что точка L на ребре BC тоже смещена (она ближе к C), а обе они «привязаны» к одной и той же плоскости через точку R.