Тригонометри… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00002592

Сначала учтём область допустимых значений (ОДЗ) — значения $x$, при которых уравнение имеет смысл.

Аргумент логарифма положителен: $\sin x>0$.

Знаменатель не равен нулю: $2\cos x-\sqrt3\neq0$, то есть $\cos x\neq\tfrac{\sqrt3}{2}$.

Пункт а. Дробь равна нулю при равенстве нулю числителя (и ОДЗ). Замена $u=\log_2(\sin x)$:

$$u^2+u=0,\quad u(u+1)=0,\ u=0\ \text{или}\ u=-1$$

Обратно: $\log_2(\sin x)=0\Rightarrow \sin x=1$; $\log_2(\sin x)=-1\Rightarrow \sin x=\tfrac12$. Корень с $\cos x=\tfrac{\sqrt3}{2}$ отбрасываем по ОДЗ.

Выпишем все серии корней:

$$\sin x=1\;\Rightarrow\;x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

$$\sin x=\tfrac12\;\Rightarrow\;x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n\ \ (x=\tfrac{\pi}{6}+2\pi n\ \text{отброшен: }\cos x=\tfrac{\sqrt3}{2})$$

Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[\frac{\pi}{2};\,2 \pi\right]$. Отметим на числовой окружности концы отрезка $\left[\frac{\pi}{2};\,2 \pi\right]$, выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.

Получаем корни, принадлежащие отрезку:

$$\frac{\pi}{2}, \frac{5 \pi}{6}$$