ID: 00002592
$\text{А) Решите уравнение } \frac{\log_2^2(\sin x)+\log_2(\sin x)}{2 \cos x-\sqrt{3}} = 0.$
$\text{Б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку } \left[\frac{\pi}{2}; 2\pi\right]$
Источник: ФИПИ
Сначала учтём область допустимых значений (ОДЗ) — значения $x$, при которых уравнение имеет смысл.
Аргумент логарифма положителен: $\sin x>0$.
Знаменатель не равен нулю: $2\cos x-\sqrt3\neq0$, то есть $\cos x\neq\tfrac{\sqrt3}{2}$.
Пункт а. Дробь равна нулю при равенстве нулю числителя (и ОДЗ). Замена $u=\log_2(\sin x)$:
$$u^2+u=0,\quad u(u+1)=0,\ u=0\ \text{или}\ u=-1$$
Обратно: $\log_2(\sin x)=0\Rightarrow \sin x=1$; $\log_2(\sin x)=-1\Rightarrow \sin x=\tfrac12$. Корень с $\cos x=\tfrac{\sqrt3}{2}$ отбрасываем по ОДЗ.
Выпишем все серии корней:
$$\sin x=1\;\Rightarrow\;x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$
$$\sin x=\tfrac12\;\Rightarrow\;x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n\ \ (x=\tfrac{\pi}{6}+2\pi n\ \text{отброшен: }\cos x=\tfrac{\sqrt3}{2})$$
Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[\frac{\pi}{2};\,2 \pi\right]$. Отметим на числовой окружности концы отрезка $\left[\frac{\pi}{2};\,2 \pi\right]$, выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.
Получаем корни, принадлежащие отрезку:
$$\frac{\pi}{2}, \frac{5 \pi}{6}$$
$\text{Ответ:}$
$\bullet \text{ А)} \qquad x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad k, n \in \mathbb{Z}$
$\bullet \text{ Б)} \frac{\pi}{2}, \quad \frac{5\pi}{6}$