ID: 00004390
а) Решите уравнение $\log_9 (3^{2x} + 5\sqrt{2}\sin x - 6\cos^2 x - 2) = x$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -2\pi; -\dfrac{\pi}{2} \right]$.
Источник: ФИПИ
Сначала учтём область допустимых значений (ОДЗ) — значения $x$, при которых уравнение имеет смысл.
Аргумент логарифма равен $9^{x}=3^{2x}>0$ — выполнено при любом $x$, ограничений нет.
Пункт а. По определению логарифма $\log_9(\dots)=x$ означает $\dots=9^{x}=3^{2x}$. Слагаемое $3^{2x}$ сократится:
$$5\sqrt2\sin x-6\cos^2 x-2=0$$
Заменим $\cos^2 x=1-\sin^2 x$ — квадратное по $\sin x$:
$$6\sin^2 x+5\sqrt2\sin x-8=0\;\Rightarrow\;\sin x=\tfrac{\sqrt2}{2}$$
Выпишем все серии корней:
$$\sin x=\tfrac{\sqrt2}{2}\;\Rightarrow\;x=\frac{\pi}{4}+2\pi n,\ x=\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$
Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[- 2 \pi;\,- \frac{\pi}{2}\right]$. Отметим на числовой окружности концы отрезка $\left[- 2 \pi;\,- \frac{\pi}{2}\right]$, выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.
Получаем корни, принадлежащие отрезку:
$$- \frac{7 \pi}{4}, - \frac{5 \pi}{4}$$
а) $\dfrac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in Z; \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in Z$
б) $-\dfrac{7\pi}{4}, -\dfrac{5\pi}{4}$