Корни — Задание 12 ЕГЭ по математике №00042077

На рисунке возрастающий график корня и возрастающая прямая; точка их пересечения $A$ лежит за краем рисунка. Восстановим обе функции и решим уравнение $f(x)=g(x)$.

Масштаб: на осях подписаны $0$ и $1$, одна клетка — единица.

Прямая пересекает ось $y$ в узле $(0;\,-3)$, а ось $x$ — в узле $(6;\,0)$. Отсюда сразу $b=-3$, а угловой коэффициент

$$k=\dfrac{0-(-3)}{6-0}=\dfrac{1}{2},\qquad g(x)=\dfrac{1}{2}x-3.$$

Сверимся с отмеченными точками прямой: $g(2)=1-3=-2$ и $g(4)=2-3=-1$ — это точки $(2;\,-2)$ и $(4;\,-1)$, они действительно отмечены.

На графике корня отмечена точка $(4;\,5)$:

$$a\sqrt{4}=5\ \Rightarrow\ a=2{,}5,\qquad f(x)=2{,}5\sqrt{x}.$$

Уравнение $f(x)=g(x)$ умножим на $2$:

$$2{,}5\sqrt{x}=\dfrac{1}{2}x-3\ \Rightarrow\ 5\sqrt{x}=x-6.$$

Замена $t=\sqrt{x}\ge 0$, $x=t^{2}$:

$$t^{2}-5t-6=0,\qquad D=25+24=49,\qquad t=\dfrac{5\pm7}{2}.$$

Получаем $t_{1}=6$ и $t_{2}=-1$. Отрицательное значение не подходит, потому что $\sqrt{x}\ge 0$. Значит, $\sqrt{x}=6$ и $x=36$.

Проверка подстановкой в обе формулы: $f(36)=2{,}5\cdot6=15$, $g(36)=18-3=15$ — совпало.