Корни — Задание 12 ЕГЭ по математике №00042068

Точки $A$ на рисунке не видно: убывающая прямая на видимом участке идёт выше графика корня, и встречаются они правее края. Поэтому восстановим обе функции по отмеченным точкам и решим уравнение $f(x)=g(x)$.

Масштаб: на осях подписаны $0$ и $1$, одна клетка — единица.

На графике корня отмечена точка в узле сетки $(4;\,-3)$. Подставим её в $f(x)=a\sqrt{x}$:

$$a\sqrt{4}=-3\ \Rightarrow\ 2a=-3\ \Rightarrow\ a=-1{,}5,\qquad f(x)=-1{,}5\sqrt{x}.$$

На прямой отмечены точки $(3;\,2)$ и $(6;\,1)$. Угловой коэффициент:

$$k=\dfrac{1-2}{6-3}=-\dfrac{1}{3},\qquad b=2-\left(-\dfrac{1}{3}\right)\cdot3=2+1=3,\qquad g(x)=-\dfrac{1}{3}x+3.$$

Сверимся с рисунком: прямая пересекает ось $y$ в точке $(0;\,3)$ — так и есть.

Составим уравнение $f(x)=g(x)$ и умножим обе части на $6$, чтобы убрать дроби:

$$-1{,}5\sqrt{x}=-\dfrac{1}{3}x+3\ \Rightarrow\ -9\sqrt{x}=-2x+18\ \Rightarrow\ 2x-9\sqrt{x}-18=0.$$

Сделаем замену $t=\sqrt{x}$, где $t\ge 0$. Тогда $x=t^{2}$:

$$2t^{2}-9t-18=0,\qquad D=81+144=225,\qquad t=\dfrac{9\pm15}{4}.$$

Получаем $t_{1}=6$ и $t_{2}=-1{,}5$. Второе значение не подходит: квадратный корень не бывает отрицательным. Значит, $\sqrt{x}=6$ и $x=36$.

Проверка подстановкой: $f(36)=-1{,}5\cdot6=-9$, $g(36)=-12+3=-9$. Значения совпали, точка $A(36;\,-9)$ общая.