Корни — Задание 12 ЕГЭ по математике №00042069

Обе функции заданы с неизвестными коэффициентами. Найдём их по отмеченным точкам, а потом решим уравнение $f(x)=g(x)$. Точка пересечения на рисунке не видна — графики сближаются правее края.

Масштаб: на осях подписаны $0$ и $1$, одна клетка — единица.

На графике корня отмечена точка $(4;\,5)$:

$$a\sqrt{4}=5\ \Rightarrow\ 2a=5\ \Rightarrow\ a=2{,}5,\qquad f(x)=2{,}5\sqrt{x}.$$

Сверимся: при $x=1$ получается $f(1)=2{,}5$, и график корня на рисунке над точкой $x=1$ проходит как раз между второй и третьей единицами по высоте.

На прямой отмечены точки $(4;\,1)$ и $(8;\,4)$. При сдвиге вправо на $4$ прямая поднимается на $3$, поэтому

$$k=\dfrac{4-1}{8-4}=\dfrac{3}{4},\qquad b=1-\dfrac{3}{4}\cdot4=1-3=-2,\qquad g(x)=\dfrac{3}{4}x-2.$$

И правда, прямая пересекает ось $y$ в точке $(0;\,-2)$.

Уравнение $f(x)=g(x)$ умножим на $4$, чтобы избавиться от дробей:

$$2{,}5\sqrt{x}=\dfrac{3}{4}x-2\ \Rightarrow\ 10\sqrt{x}=3x-8.$$

Обозначим $t=\sqrt{x}\ge 0$, тогда $x=t^{2}$:

$$3t^{2}-10t-8=0,\qquad D=100+96=196,\qquad t=\dfrac{10\pm14}{6}.$$

Получаем $t_{1}=4$ и $t_{2}=-\dfrac{2}{3}$. Отрицательное значение не годится, так как $\sqrt{x}\ge 0$. Значит, $\sqrt{x}=4$, $x=16$.

Проверка: $f(16)=2{,}5\cdot4=10$, $g(16)=\dfrac{3}{4}\cdot16-2=12-2=10$. Значения совпали.