Корни — Задание 12 ЕГЭ по математике №00042076

На видимом участке прямая лежит выше графика корня: прямая над осью $x$, а график корня — под ней. Точка их пересечения $A$ находится правее края рисунка, поэтому найдём её из уравнения $f(x)=g(x)$, восстановив обе формулы по отмеченным точкам.

Масштаб: на осях подписаны $0$ и $1$, одна клетка — единица.

Прямая проходит через отмеченные точки $(3;\,2)$ и $(6;\,1)$: при сдвиге на $3$ вправо она опускается на $1$, значит,

$$k=\dfrac{1-2}{6-3}=-\dfrac{1}{3},\qquad b=2+\dfrac{1}{3}\cdot3=3,\qquad g(x)=-\dfrac{1}{3}x+3.$$

Это согласуется с рисунком: прямая пересекает ось $y$ на высоте $3$.

График корня начинается в отмеченной точке $(0;\,0)$ и проходит через отмеченную точку $(4;\,-3)$:

$$a\sqrt{4}=-3\ \Rightarrow\ a=-1{,}5,\qquad f(x)=-1{,}5\sqrt{x}.$$

Решим уравнение $f(x)=g(x)$ возведением в квадрат. Умножим обе части на $-6$:

$$-1{,}5\sqrt{x}=-\dfrac{1}{3}x+3\ \Rightarrow\ 9\sqrt{x}=2x-18.$$

Левая часть не меньше нуля, значит, и правая должна быть такой: $2x-18\ge 0$, то есть $x\ge 9$. При этом условии можно возвести в квадрат:

$$81x=4x^{2}-72x+324\ \Rightarrow\ 4x^{2}-153x+324=0.$$

$$D=153^{2}-4\cdot4\cdot324=23409-5184=18225=135^{2},\qquad x=\dfrac{153\pm135}{8}.$$

Корни: $x_{1}=\dfrac{288}{8}=36$ и $x_{2}=\dfrac{18}{8}=2{,}25$. Второй меньше $9$ — он посторонний, появился из-за возведения в квадрат. Остаётся $x=36$.

Проверка подстановкой в обе функции: $f(36)=-1{,}5\cdot6=-9$, $g(36)=-\dfrac{36}{3}+3=-9$ — совпало. А при $x=2{,}25$ получилось бы $f=-2{,}25$, но $g=2{,}25$ — значения разные, это действительно не точка пересечения.