Тригонометри… — Задание 12 ЕГЭ по математике №00042073

Нужно найти $b$ — сдвиг графика тангенса по вертикали. Удобнее всего прочитать его в точке, где тангенс равен нулю.

Масштаб: подпись $1$ на оси $y$ стоит на второй линии сетки над осью $x$, значит, одна клетка по вертикали — $0{,}5$. Пунктирные вертикальные линии — асимптоты.

График $y=\operatorname{tg}x$ симметричен относительно своих «центров» — точек $(0;\,0)$, $(\pi;\,0)$ и так далее, в которых тангенс равен нулю. Умножение на $a$ растягивает ветви по вертикали, а прибавление $b$ поднимает все центры на высоту $b$.

При $x=0$:

$$f(0)=a\operatorname{tg}0+b=a\cdot 0+b=b.$$

Левая ветвь пересекает ось $y$ в отмеченной точке, которая стоит на подписи $1$, то есть на две клетки выше оси $x$. Значит, $f(0)=1$ и $b=1$.

Проверим себя правой ветвью: при $x=\pi$ тоже $\operatorname{tg}\pi=0$, и её середина при $x=\pi$ лежит на той же высоте $1$. Сходится.

Для полноты: вторая отмеченная точка $\left(\dfrac{\pi}{4};\,2{,}5\right)$ (пять клеток над осью) даёт $a\cdot 1+1=2{,}5$, то есть $a=1{,}5$. Для ответа это не нужно.