Тригонометри… — Задание 12 ЕГЭ по математике №00042063

Нужно найти только $b$, поэтому ищем способ прочитать его с рисунка, не зная $a$.

Масштаб: подпись $1$ на оси $y$ стоит на второй линии сетки над осью $x$, значит, одна клетка по вертикали — это $0{,}5$.

Функция $a\sin x$ колеблется вокруг нуля: её наибольшее значение $|a|$, а наименьшее $-|a|$. Когда мы вычитаем $b$, весь график сдвигается по вертикали, и средняя линия, вокруг которой он колеблется, оказывается на высоте $y=-b$. Эта линия лежит ровно посередине между наивысшей и наинизшей точками графика.

По рисунку: наивысшая точка — на семь клеток выше оси $x$, то есть $3{,}5$; отмеченный минимум при $x=\dfrac{\pi}{2}$ — на одну клетку выше оси, то есть $0{,}5$.

$$-b=\dfrac{3{,}5+0{,}5}{2}=\dfrac{4}{2}=2,\qquad b=-2.$$

Проверим вторым способом. При $x=0$ имеем $\sin 0=0$, поэтому $f(0)=-b$. График пересекает ось $y$ в отмеченной точке на четыре клетки выше оси $x$, то есть $f(0)=2$. Тогда $-b=2$ и $b=-2$ — совпало.

Заодно убедимся, что рисунок согласован: в минимуме $f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=a\cdot 1-b=a+2=0{,}5$, откуда $a=-1{,}5$, и размах колебаний $3{,}5-0{,}5=3$ действительно равен $2|a|$.