Тригонометри… — Задание 12 ЕГЭ по математике №00042072

Спрашивают только $b$. Найдём точку графика, где слагаемое $a\operatorname{tg}x$ равно нулю, — тогда значение функции и будет $b$.

Масштаб: подпись $1$ на оси $y$ стоит на второй линии сетки над осью $x$, значит, одна клетка по вертикали — $0{,}5$. Пунктирные вертикальные линии — асимптоты, через них график тангенса уходит в бесконечность.

Тангенс нуля равен нулю: $\operatorname{tg}0=0$. Поэтому

$$f(0)=a\cdot 0+b=b.$$

На рисунке ветвь графика пересекает ось $y$ в отмеченной точке на три клетки ниже оси $x$. Три клетки по $0{,}5$ — это $1{,}5$, и точка ниже оси, значит, $f(0)=-1{,}5$.

Итак, $b=-1{,}5$.

Проверим себя второй ветвью. Тангенс имеет период $\pi$, поэтому $\operatorname{tg}\pi=0$ и $f(\pi)=b$ тоже. Правая ветвь при $x=\pi$ проходит на той же высоте — на три клетки ниже оси $x$. Сходится.

Для полноты найдём и $a$ по второй отмеченной точке $\left(\dfrac{\pi}{4};\,0{,}5\right)$: $a\operatorname{tg}\dfrac{\pi}{4}+b=a-1{,}5=0{,}5$, откуда $a=2$. На ответ это не влияет.