Геометрически… — Задание 9 ЕГЭ по математике №00042019

Касательная параллельна прямой $y=-3x+20$ или совпадает с ней, если её угловой коэффициент тоже равен $-3$. Угловой коэффициент касательной в точке $x_0$ равен значению производной $f'(x_0)$.

Значит, ищем количество точек, где

$$f'(x_0)=-3.$$

Это точки пересечения графика производной с горизонтальной прямой $y=-3$. Посчитаем их по рисунку (одна клетка — единица).

1) График начинается в выколотой точке $(-2;\,-4)$, ниже уровня $-3$, проходит впадину около $x=-1{,}5$ и поднимается к точке $(0;\,-2)$. Уровень $-3$ пересекается между $x=-1$ и $x=0$.

2) Дальше график поднимается выше оси, к горбу около $x\approx3{,}4$, и опускается к впадине $(7;\,\approx-3{,}2)$. Впадина чуть ниже уровня $-3$, поэтому на спуске — второе пересечение.

3) Подъём к горбу $(8;\,\approx-1{,}8)$ — третье пересечение.

4) Спуск к выколотой точке $(9;\,\approx-3{,}8)$ — четвёртое пересечение.

Количество точек:

$$4.$$

Проверка: точки, где график пересекает ось $Ox$ ($x=2$ и $x=6$), сюда не относятся — там касательная горизонтальна, а не параллельна прямой $y=-3x+20$.