Геометрически… — Задание 9 ЕГЭ по математике №00042018

Две прямые параллельны (или совпадают), если у них одинаковые угловые коэффициенты. У прямой $y=-2x+5$ угловой коэффициент равен $-2$.

Угловой коэффициент касательной к графику $f(x)$ в точке $x_0$ равен $f'(x_0)$. Значит, нужно найти количество точек, в которых

$$f'(x_0)=-2.$$

На рисунке дан график производной. Проведём горизонтальную прямую $y=-2$ и посчитаем её пересечения с графиком (одна клетка — единица).

1) От выколотой точки $(-3;\,\approx-3{,}6)$ график поднимается и пересекает уровень $-2$ между $x=-3$ и $x=-2$.

2) После высокого горба около $x\approx0{,}5$ график опускается до впадины $(3;\,-3)$ и пересекает уровень $-2$ между $x=2$ и $x=3$.

3) Дальше подъём к маленькому горбу $(4;\,\approx-1{,}4)$. Этот горб выше уровня $-2$, поэтому подъём даёт ещё одно пересечение.

4) Спуск от этого горба к нижней впадине (около $-4$) — снова пересечение.

5) Подъём из впадины к оси и выше — пятое пересечение. После него график остаётся выше уровня $-2$ до конца интервала.

Количество точек:

$$5.$$

Проверка: каждая волна графика, которая опускается ниже уровня $-2$, даёт по два пересечения — вход и выход; плюс первое пересечение у левого края, где график начинается ниже уровня. Впадина у $x=3$ — два, нижняя впадина — два, левый край — одно: $2+2+1=5$.