Геометрически… — Задание 9 ЕГЭ по математике №00042008

Прямая касается параболы, если у них ровно одна общая точка. Значит, уравнение «парабола = прямая» должно иметь ровно один корень.

Запишем это уравнение:

$$4x^2+bx+2=-6x+1.$$

Перенесём всё в левую часть:

$$4x^2+(b+6)x+1=0.$$

У квадратного уравнения ровно один корень, когда дискриминант равен нулю:

$$D=(b+6)^2-4\cdot4\cdot1=(b+6)^2-16=0.$$

Отсюда $b+6=4$ или $b+6=-4$, то есть $b=-2$ или $b=-10$.

Найдём точку касания для каждого случая. При нулевом дискриминанте корень равен $x_0=-\dfrac{b+6}{2\cdot4}=-\dfrac{b+6}{8}$.

При $b=-2$: $x_0=-\dfrac{4}{8}=-\dfrac12\lt0$ — подходит.

При $b=-10$: $x_0=-\dfrac{-4}{8}=\dfrac12\gt0$ — не подходит по условию.

Значит, $b=-2$.

Проверка через производную: $y'=8x+b=8x-2$, в точке $x_0=-\dfrac12$ получаем $8\cdot\left(-\dfrac12\right)-2=-6$ — это угловой коэффициент прямой. Значения тоже совпадают: $4\cdot\dfrac14-2\cdot\left(-\dfrac12\right)+2=4$ и $-6\cdot\left(-\dfrac12\right)+1=4$.