Геометрически… — Задание 9 ЕГЭ по математике №00042010

Угловой коэффициент касательной в точке $x_0$ равен значению производной в этой точке. У прямой $y=-2x-12$ угловой коэффициент равен $-2$.

Производная функции:

$$y'=3x^2-4x-6.$$

Приравняем к $-2$:

$$3x^2-4x-6=-2,\qquad 3x^2-4x-4=0.$$

Дискриминант $D=16+48=64$, корни $x=\dfrac{4+8}{6}=2$ и $x=\dfrac{4-8}{6}=-\dfrac23$.

Касательная с наклоном $-2$ есть в обеих точках, но с прямой $y=-2x-12$ совпадает только та, в которой график и прямая проходят через одну точку.

При $x=2$: значение функции $8-8-12-4=-16$, значение прямой $-4-12=-16$. Совпадают.

При $x=-\dfrac23$: значение функции $-\dfrac{8}{27}-\dfrac{8}{9}+4-4=-\dfrac{32}{27}$, значение прямой $\dfrac43-12=-\dfrac{32}{3}$. Не совпадают.

Абсцисса точки касания:

$$x_0=2.$$

Проверка другим способом: уравнение $x^3-2x^2-6x-4=-2x-12$ сводится к $x^3-2x^2-4x+8=0$, то есть $x^2(x-2)-4(x-2)=(x-2)^2(x+2)=0$. Корень $x=2$ двойной — прямая касается графика именно там.