ID: 00028852
На рисунке изображён график функции $y=f\left(x \right)$. На оси абсцисс отмечены точки 1, 2, 3, 4. В какой из этих точек значение производной функции $f\left(x \right)$ наименьшее? В ответе укажите эту точку.
Источник: ФИПИ
На картинке нарисован график самой функции $y=f(x)$ — не производной, а именно функции. Значит, судить о производной придётся по тому, как этот график наклонён.
Производная в точке — это наклон касательной, то есть крутизна графика ровно в этой точке. Если график в точке поднимается, производная положительна; если опускается — отрицательна; и чем круче спуск, тем меньше (тем «отрицательнее») производная.
Нам нужно наименьшее значение, то есть самый крутой спуск. Сразу отсеем точки, где график идёт вверх: там производная положительна, а любое положительное число больше любого отрицательного.
Точка 1. Здесь график поднимается: он выбирается из глубокой ямы и идёт вверх. За шаг в одну клетку вправо он прибавляет в высоте примерно $0{,}8$ клетки, то есть наклон около $+0{,}8$. Число положительное — на роль наименьшего не годится.
Точка 4. Тут график тоже идёт вверх, и даже круче: он прошёл нижнюю точку примерно при $x=3{,}7$ и резко пошёл на подъём, прибавляя около $2$ клеток высоты на клетку вправо. Наклон примерно $+2$ — снова плюс, снова мимо.
Точка 3. Здесь график опускается, но еле-еле. Вершина высокого горба (высота $y=2$) приходится не на $x=3$, а левее, примерно на $x\approx2{,}8$. У самой вершины график почти горизонтален, и к $x=3$ он только начал сходить вниз: за клетку вправо теряет около $0{,}8$ клетки высоты. Наклон примерно $-0{,}8$.
Точка 2. Здесь график идёт по короткому, но очень крутому спуску — по склону маленькой ямки между локальным максимумом около $x=1{,}85$ и локальным минимумом около $x=2{,}15$. За клетку вправо график проваливается почти на $1{,}9$ клетки, то есть наклон около $-1{,}9$.
Осталось сравнить четыре числа: $-1{,}9 \lt -0{,}8 \lt +0{,}8 \lt +2$. Самое маленькое из них — $-1{,}9$, и получилось оно в точке 2.
Здесь спрятана ловушка, на которой чаще всего теряют балл. Глаз цепляется за самый крутой обвал графика справа от высокого горба, и рука тянется отдать ответ точке 3 или 4. Обвал там и правда есть — примерно на участке $x\approx3{,}2\ldots3{,}5$ график падает круче всего на рисунке. Но производную спрашивают В ОТМЕЧЕННОЙ ТОЧКЕ, а не «где-то на участке рядом»: этот крутой кусок не попал ни в одну из четырёх отмеченных точек, поэтому в ответ он не идёт. В самой точке 3 спуск ещё только начинается и потому пологий.