Задание 8 ЕГЭ по математике: На рисунке изображён график функции y равно f левая круглая…

На картинке нарисован график самой функции y=f(x) — не производной, а именно функции. Значит, судить о производной придётся по тому, как этот график наклонён.

Производная в точке — это наклон касательной, то есть крутизна графика ровно в этой точке. Если график в точке поднимается, производная положительна; если опускается — отрицательна; и чем круче спуск, тем меньше (тем «отрицательнее») производная.

Нам нужно наименьшее значение, то есть самый крутой спуск. Сразу отсеем точки, где график идёт вверх: там производная положительна, а любое положительное число больше любого отрицательного.

Точка 1. Здесь график поднимается: он выбирается из глубокой ямы и идёт вверх. За шаг в одну клетку вправо он прибавляет в высоте примерно 0{,}8 клетки, то есть наклон около +0{,}8. Число положительное — на роль наименьшего не годится.

Точка 4. Тут график тоже идёт вверх, и даже круче: он прошёл нижнюю точку примерно при x=3{,}7 и резко пошёл на подъём, прибавляя около 2 клеток высоты на клетку вправо. Наклон примерно +2 — снова плюс, снова мимо.

Точка 3. Здесь график опускается, но еле-еле. Вершина высокого горба (высота y=2) приходится не на x=3, а левее, примерно на x\approx2{,}8. У самой вершины график почти горизонтален, и к x=3 он только начал сходить вниз: за клетку вправо теряет около 0{,}8 клетки высоты. Наклон примерно -0{,}8.

Точка 2. Здесь график идёт по короткому, но очень крутому спуску — по склону маленькой ямки между локальным максимумом около x=1{,}85 и локальным минимумом около x=2{,}15. За клетку вправо график проваливается почти на 1{,}9 клетки, то есть наклон около -1{,}9.

Осталось сравнить четыре числа: -1{,}9 \lt -0{,}8 \lt +0{,}8 \lt +2. Самое маленькое из них — -1{,}9, и получилось оно в точке 2.

Здесь спрятана ловушка, на которой чаще всего теряют балл. Глаз цепляется за самый крутой обвал графика справа от высокого горба, и рука тянется отдать ответ точке 3 или 4. Обвал там и правда есть — примерно на участке x\approx3{,}2\ldots3{,}5 график падает круче всего на рисунке. Но производную спрашивают В ОТМЕЧЕННОЙ ТОЧКЕ, а не «где-то на участке рядом»: этот крутой кусок не попал ни в одну из четырёх отмеченных точек, поэтому в ответ он не идёт. В самой точке 3 спуск ещё только начинается и потому пологий.