Геометрически… — Задание 9 ЕГЭ по математике №00042009

В точке касания $x_0$ угловой коэффициент касательной равен производной функции. У прямой $y=2x+37$ угловой коэффициент равен $2$.

Найдём производную:

$$y'=3x^2+6x-7.$$

Приравняем её к $2$:

$$3x^2+6x-7=2,\qquad 3x^2+6x-9=0,\qquad x^2+2x-3=0.$$

Корни: $x=1$ и $x=-3$. Это лишь кандидаты: в каждой из этих точек касательная параллельна данной прямой, но совпадает с ней только там, где график и прямая имеют общую точку.

Проверим $x=1$: значение функции $1+3-7+10=7$, значение прямой $2\cdot1+37=39$. Не совпадают — здесь касательная параллельна прямой, но проходит ниже.

Проверим $x=-3$: значение функции $(-3)^3+3\cdot(-3)^2-7\cdot(-3)+10=-27+27+21+10=31$, значение прямой $2\cdot(-3)+37=31$. Совпадают.

Абсцисса точки касания:

$$x_0=-3.$$

Проверка другим способом: уравнение $x^3+3x^2-7x+10=2x+37$ сводится к $x^3+3x^2-9x-27=0$, то есть $(x+3)^2(x-3)=0$. Корень $x=-3$ двойной — именно так выглядит касание.