Геометрически… — Задание 9 ЕГЭ по математике №00028848

Здесь легко попасться: на рисунке две линии, и хочется что-то считать по волнистой кривой. Но кривая нужна только чтобы показать, куда приложена касательная, а весь счёт идёт по тонкой прямой.

Причина в геометрическом смысле производной: значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Угловой коэффициент — это мера крутизны прямой: на сколько прямая поднимается, если сдвинуться на одну единицу вправо.

Значит, нужно найти крутизну тонкой прямой. Для этого берут две её точки с целыми координатами — на рисунке они уже помечены жирными точками: левая $(-4;1)$ и правая $(4;3)$.

Угловой коэффициент равен отношению прироста по вертикали к приросту по горизонтали. Вверх прямая поднялась на $3-1=2$, вправо ушла на $4-(-4)=4+4=8$.

$$k=\dfrac{2}{8}=0{,}25.$$

Обрати внимание, насколько прямая пологая: за целых восемь клеток вправо она набрала всего две клетки высоты, поэтому и число получилось меньше единицы — это нормально.

Проверим себя. Двигаясь от точки $(-4;1)$ вправо на $8$ единиц с подъёмом $0{,}25$ за единицу, поднимаемся на $8\cdot0{,}25=2$ и попадаем на высоту $1+2=3$ — ровно в правую отмеченную точку. Значит, наклон посчитан верно.

Производная функции в точке $x_{0}$ равна найденному угловому коэффициенту.