ID: 00028848
На рисунке изображены график функции y=f\left(x\right) и касательная к нему в точке с абсциссой x_{0}. Найдите значение производной функции f\left(x\right) в точке x_{0}.
Источник: ФИПИ
Здесь легко попасться: на рисунке две линии, и хочется что-то считать по волнистой кривой. Но кривая нужна только чтобы показать, куда приложена касательная, а весь счёт идёт по тонкой прямой.
Причина в геометрическом смысле производной: значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Угловой коэффициент — это мера крутизны прямой: на сколько прямая поднимается, если сдвинуться на одну единицу вправо.
Значит, нужно найти крутизну тонкой прямой. Для этого берут две её точки с целыми координатами — на рисунке они уже помечены жирными точками: левая (-4;1) и правая (4;3).
Угловой коэффициент равен отношению прироста по вертикали к приросту по горизонтали. Вверх прямая поднялась на 3-1=2, вправо ушла на 4-(-4)=4+4=8.
k=\dfrac{2}{8}=0{,}25.
Обрати внимание, насколько прямая пологая: за целых восемь клеток вправо она набрала всего две клетки высоты, поэтому и число получилось меньше единицы — это нормально.
Проверим себя. Двигаясь от точки (-4;1) вправо на 8 единиц с подъёмом 0{,}25 за единицу, поднимаемся на 8\cdot0{,}25=2 и попадаем на высоту 1+2=3 — ровно в правую отмеченную точку. Значит, наклон посчитан верно.
Производная функции в точке x_{0} равна найденному угловому коэффициенту.