Геометрически… — Задание 9 ЕГЭ по математике №00042007

Пусть $x_0$ — абсцисса точки касания. В этой точке выполняются сразу два условия.

Первое: прямая и график проходят через одну точку, значит, значения равны:

$$28x_0^2+bx_0+15=-5x_0+8.$$

Второе: наклон касательной равен производной функции в точке касания. Производная $y'=56x+b$, наклон прямой равен $-5$:

$$56x_0+b=-5.$$

Из второго равенства выразим $b$:

$$b=-5-56x_0.$$

Подставим в первое равенство:

$$28x_0^2+(-5-56x_0)x_0+15=-5x_0+8,$$

$$28x_0^2-5x_0-56x_0^2+15=-5x_0+8.$$

Слагаемые $-5x_0$ стоят с обеих сторон, убираем их:

$$-28x_0^2+15=8,\qquad 28x_0^2=7,\qquad x_0^2=\dfrac14.$$

Получаем $x_0=\dfrac12$ или $x_0=-\dfrac12$. По условию абсцисса точки касания больше нуля, поэтому $x_0=\dfrac12$.

Тогда

$$b=-5-56\cdot\dfrac12=-5-28=-33.$$

Проверка другим способом: при $b=-33$ уравнение $28x^2-33x+15=-5x+8$ превращается в $28x^2-28x+7=0$, то есть $7(2x-1)^2=0$. Корень единственный, $x=\dfrac12\gt0$, — прямая действительно касается графика в точке с положительной абсциссой.