Задание 1 ЕГЭ по математике №00041855

Пусть $O$ — центр описанной окружности. Соединю его с вершинами $A$ и $B$: $OA=OB=R$.

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. Угол $C=150^\circ$ опирается на дугу $AB$, не содержащую точку $C$, поэтому эта дуга равна $2\cdot150^\circ=300^\circ$.

Вторая дуга $AB$ — та, на которой лежит $C$, — равна $360^\circ-300^\circ=60^\circ$. Центральный угол $AOB$ треугольника $AOB$ опирается именно на неё: $\angle AOB=60^\circ$.

В равнобедренном треугольнике $AOB$ угол при вершине $60^\circ$, тогда углы при основании равны $\dfrac{180^\circ-60^\circ}{2}=60^\circ$. Все углы по $60^\circ$ — треугольник равносторонний, и $R=OA=AB=19$.

Проверю теоремой синусов: $\dfrac{AB}{\sin C}=2R$. Так как $\sin150^\circ=\sin30^\circ=\dfrac12$, получаю $2R=\dfrac{19}{\frac12}=38$, $R=19$ — совпадает.