Задание 1 ЕГЭ по математике №00041854

Радиус описанной окружности связан со стороной и противолежащим углом теоремой синусов:

$$\dfrac{AB}{\sin C}=2R.$$

Угол $C=150^\circ$ тупой. Синус тупого угла равен синусу смежного с ним острого: $\sin150^\circ=\sin(180^\circ-150^\circ)=\sin30^\circ=\dfrac12$.

Подставляю: $2R=\dfrac{1}{\frac12}=2$, значит, $R=1$.

Проверю через центральный угол. Пусть $O$ — центр окружности. Вписанный угол $C=150^\circ$ опирается на дугу $AB$, не содержащую точку $C$, поэтому эта дуга равна $2\cdot150^\circ=300^\circ$. Другая дуга $AB$ (на ней лежит $C$) равна $360^\circ-300^\circ=60^\circ$, и центральный угол $AOB=60^\circ$.

Треугольник $AOB$ равнобедренный ($OA=OB=R$) с углом $60^\circ$ при вершине, значит, он равносторонний: $R=OA=AB=1$ — совпадает.