Угол между… — Задание 15 ЕГЭ по математике №00041795

Пункт а (доказательство). Точки $M$ и $K$ — середины рёбер $SA$ и $SD$, поэтому $MK$ — средняя линия треугольника $ASD$ и $MK\parallel AD$.

В правильном шестиугольнике с центром $O$ треугольники $OAB$ и $OBC$ равносторонние, поэтому $ABCO$ — ромб (все его стороны равны стороне шестиугольника). Противоположные стороны ромба параллельны: $OA\parallel BC$. Точка $O$ лежит на диагонали $AD$, значит $AD\parallel BC$.

Две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой: $MK\parallel BC$. Через две параллельные прямые проходит единственная плоскость, поэтому точки $B$, $C$, $K$, $M$ лежат в одной плоскости, а с ними и прямые $BM$ и $CK$. Что и требовалось доказать.

Пункт б (вычисление). Плоскость $BMC$ — это плоскость $BCKM$ из пункта а; основание пирамиды она пересекает по прямой $BC$. Найдём линейный угол двугранного угла при ребре $BC$.

Пусть $SO$ — высота пирамиды ($O$ — центр основания), $H$ — середина отрезка $AO$. Отрезок $MH$ — средняя линия треугольника $SAO$, поэтому $MH\parallel SO$ и $MH=\dfrac12 SO$; значит $MH$ перпендикулярен плоскости основания.

Четырёхугольник $ABOF$ — тоже ромб, и его диагонали $AO$ и $BF$ делятся точкой пересечения пополам. Поэтому $H$ — середина и отрезка $BF$.

Отрезок $FC$ проходит через центр $O$ и является диаметром описанной окружности шестиугольника, а вписанный угол $FBC$ опирается на этот диаметр, значит $\angle FBC=90^\circ$, то есть $BH\perp BC$. Так как $BH$ — проекция наклонной $BM$ на основание, по теореме о трёх перпендикулярах $BM\perp BC$. Значит $\angle MBH$ — линейный угол между плоскостью $BMC$ и основанием: $\angle MBH=45^\circ$.

Длина $BF$: в треугольнике $ABF$ стороны $AB=AF=8$, угол $BAF=120^\circ$ (угол правильного шестиугольника). По теореме косинусов

$$BF^{2}=8^{2}+8^{2}-2\cdot 8\cdot 8\cdot\cos 120^\circ=64+64+64=192,\qquad BF=8\sqrt{3}.$$

Тогда $BH=\dfrac12 BF=4\sqrt{3}$, и из прямоугольного треугольника $MHB$

$$MH=BH\cdot\mathrm{tg}\,45^\circ=4\sqrt{3}.$$

Высота пирамиды вдвое больше: $SO=2MH=8\sqrt{3}$.

Проверим себя координатами. Поставим центр $O$ в начало, $A(8;0;0)$, $B\left(4;4\sqrt{3};0\right)$, $C\left(-4;4\sqrt{3};0\right)$. Прямая $BC$ — это $y=4\sqrt{3}$, точка $H(4;0;0)$ удалена от неё на $4\sqrt{3}$, а $M$ поднята на $\dfrac{SO}{2}=4\sqrt{3}$. Отношение высоты к горизонтальному расстоянию равно $1$ — угол $45^\circ$, всё сходится.