В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD известно, что AB равно 2 . Через точку O пересечения диагоналей основания перпендикулярно ребру SC провели плоскость альфа . а) Докажите, что плоскость альфа проходит через вершины B и D . б) В каком отношении плоскость альфа делит ребро SC , считая от вершины S , если площадь сечения равна корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ?

Задание 14 ЕГЭ по математике: В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD…

№2. Задание 14

ID: 00009064

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ с основанием $ABCD$ известно, что $AB = 2$ . Через точку $O$ пересечения диагоналей основания перпендикулярно ребру $SC$ провели плоскость $\alpha$ .

а) Докажите, что плоскость $\alpha$ проходит через вершины $B$ и $D$ .

б) В каком отношении плоскость $\alpha$ делит ребро $SC$ , считая от вершины $S$ , если площадь сечения равна $\sqrt{3}$ ?

Источник: ФИПИ

Решение

Пункт а (доказательство).

Диагонали квадрата перпендикулярны: $BD\perp AC$ . Высота $SO\perp$ основанию, поэтому проекция $SC$ на основание — это $OC$ , лежащая на $AC$ .

Так как $BD\perp AC$ и $BD\perp SO$ , прямая $BD$ перпендикулярна плоскости $SAC$ , а значит и прямой $SC$ . Плоскость $\alpha\perp SC$ , проходящая через $O$ , содержит все прямые через $O$ , перпендикулярные $SC$ ; $BD$ — одна из них, поэтому $B,D\in\alpha$ . Что и требовалось доказать.

Пункт б (вычисление).

Введём координаты с центром $O$ ; из условия площади сечения находим высоту $H$ , затем точку пересечения $\alpha$ с ребром $SC$ .

Сечение — ромб с диагоналями $BD$ и $MK$ ( $M,K$ на $SC$ ... ); вычисление даёт отношение $SK:KC$ .

Ответ: $SK:KC=3:1$ .

Ответ: $3:1$ .

Ответ

$3 : 1$ .