Угол между… — Задание 15 ЕГЭ по математике №00009064

Пункт а (доказательство).

Диагонали квадрата перпендикулярны: $BD\perp AC$. Высота $SO\perp$ основанию, поэтому проекция $SC$ на основание — это $OC$, лежащая на $AC$.

Так как $BD\perp AC$ и $BD\perp SO$, прямая $BD$ перпендикулярна плоскости $SAC$, а значит и прямой $SC$. Плоскость $\alpha\perp SC$, проходящая через $O$, содержит все прямые через $O$, перпендикулярные $SC$; $BD$ — одна из них, поэтому $B,D\in\alpha$. Что и требовалось доказать.

Пункт б (вычисление).

Пусть $K$ — точка пересечения плоскости $\alpha$ с ребром $SC$. По пункту а сечение — треугольник $BDK$. Прямая $OK$ лежит в плоскости $\alpha$, а $\alpha\perp SC$, поэтому $OK\perp SC$. Кроме того, $BD\perp$ плоскости $SAC$, значит, $BD\perp OK$, и $OK$ — высота треугольника $BDK$.

В квадрате со стороной $2$: $BD=AC=2\sqrt2$, $OC=\sqrt2$.

$$S_{BDK}=\frac12\cdot BD\cdot OK=\sqrt2\cdot OK=\sqrt3\ \Rightarrow\ OK=\frac{\sqrt6}{2}.$$

В прямоугольном треугольнике $OKC$ (угол $K$ прямой):

$$CK=\sqrt{OC^2-OK^2}=\sqrt{2-\frac32}=\frac{\sqrt2}{2},\qquad \cos\angle C=\frac{CK}{OC}=\frac12.$$

В прямоугольном треугольнике $SOC$ (угол $O$ прямой):

$$SC=\frac{OC}{\cos\angle C}=2\sqrt2,\qquad SK=SC-CK=2\sqrt2-\frac{\sqrt2}{2}=\frac{3\sqrt2}{2}.$$

$$SK:KC=\frac{3\sqrt2}{2}:\frac{\sqrt2}{2}=3:1.$$