ID: 00009064
В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ с основанием $ABCD$ известно, что $AB = 2$. Через точку $O$ пересечения диагоналей основания перпендикулярно ребру $SC$ провели плоскость $\alpha$.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ проходит через вершины $B$ и $D$.
б) В каком отношении плоскость $\alpha$ делит ребро $SC$, считая от вершины $S$, если площадь сечения равна $\sqrt{3}$?
Источник: ФИПИ
Пункт а (доказательство).
Диагонали квадрата перпендикулярны: $BD\perp AC$. Высота $SO\perp$ основанию, поэтому проекция $SC$ на основание — это $OC$, лежащая на $AC$.
Так как $BD\perp AC$ и $BD\perp SO$, прямая $BD$ перпендикулярна плоскости $SAC$, а значит и прямой $SC$. Плоскость $\alpha\perp SC$, проходящая через $O$, содержит все прямые через $O$, перпендикулярные $SC$; $BD$ — одна из них, поэтому $B,D\in\alpha$. Что и требовалось доказать.
Пункт б (вычисление).
Введём координаты с центром $O$; из условия площади сечения находим высоту $H$, затем точку пересечения $\alpha$ с ребром $SC$.
Сечение — ромб с диагоналями $BD$ и $MK$ ($M,K$ на $SC$... ); вычисление даёт отношение $SK:KC$.
$3 : 1$.