В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 6 , а боковое ребро SA равна 7 . На рёбрах CD и SC отмечены точки N и K соответственно, причём DN: NC равно SK: KC равно 1: 2 . Плоскость альфа содержит прямую KN и параллельна прямой BC . а) Докажите, что плоскость альфа параллельна прямой SA . б) Найдите угол между плоскостями альфа и SBC .

2arcsin левая круглая скобка дробь: числитель: 3 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента, знаменатель: 20 конец дроби правая круглая скобка .

Задание 14 ЕГЭ по математике: В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB…

№2. Задание 14

ID: 00009038

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ сторона основания $AB$ равна $6$ , а боковое ребро $SA$ равна $7$ . На рёбрах $CD$ и $SC$ отмечены точки $N$ и $K$ соответственно, причём $DN : NC = SK : KC = 1 : 2$ . Плоскость $\alpha$ содержит прямую $KN$ и параллельна прямой $BC$ .

а) Докажите, что плоскость $\alpha$ параллельна прямой $SA$ .

б) Найдите угол между плоскостями $\alpha$ и $SBC$ .

Источник: ФИПИ

Решение

Введём координаты с центром основания в начале: $A=(3;3;0)$ , $B=(-3;3;0)$ , $C=(-3;-3;0)$ , $D=(3;-3;0)$ , $O=(0;0;0)$ . Высота: из бокового ребра $SA=7$ и $OA^2=18$ получаем $SO=\sqrt{49-18}=\sqrt{31}$ , то есть $S=(0;0;\sqrt{31})$ .

Отмеченные точки: $N$ на $CD$ с $DN:NC=1:2$ , то есть $N=D+\tfrac13(C-D)=(1;-3;0)$ ; $K$ на $SC$ с $SK:KC=1:2$ , то есть $K=S+\tfrac13(C-S)=\left(-1;-1;\tfrac{2\sqrt{31}}3\right)$ .

Пункт а. Плоскость $\alpha$ содержит прямую $KN$ и параллельна $BC$ (направление $\overrightarrow{BC}=(0;1;0)$ ), поэтому её нормаль $\vec n_\alpha=\overrightarrow{NK}\times\overrightarrow{BC}$ . Считаем $\overrightarrow{NK}=(-2;2;\tfrac{2\sqrt{31}}3)$ и получаем $\vec n_\alpha=\left(-\tfrac{2\sqrt{31}}3;0;-2\right)$ , или после умножения на $-\tfrac32$ — короче $\vec n_\alpha=(\sqrt{31};0;3)$ .

Проверим параллельность $SA$ : $\overrightarrow{SA}=A-S=(3;3;-\sqrt{31})$ , и $\vec n_\alpha\cdot\overrightarrow{SA}=3\sqrt{31}+0-3\sqrt{31}=0$ . Значит $\alpha\parallel SA$ , что и требовалось доказать.

Пункт б. Найдём нормаль грани $SBC$ : $\vec n_2=\overrightarrow{SB}\times\overrightarrow{SC}$ , где $\overrightarrow{SB}=(-3;3;-\sqrt{31})$ , $\overrightarrow{SC}=(-3;-3;-\sqrt{31})$ . Получаем $\vec n_2=(-6\sqrt{31};0;18)$ ; сократим до $\vec n_2=(\sqrt{31};0;-3)$ .

Угол $\varphi$ между плоскостями равен углу между нормалями. Считаем: $\vec n_\alpha\cdot\vec n_2=\sqrt{31}\cdot\sqrt{31}+0+3\cdot(-3)=31-9=22$ , а длины $|\vec n_\alpha|=|\vec n_2|=\sqrt{31+9}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$ .

Поэтому $\cos\varphi=\dfrac{22}{2\sqrt{10}\cdot2\sqrt{10}}=\dfrac{22}{40}=\dfrac{11}{20}$ .

Ответ обычно записывают через половинный угол. Из $\cos\varphi=\dfrac{11}{20}$ найдём $\sin\dfrac\varphi2=\sqrt{\dfrac{1-\cos\varphi}{2}}=\sqrt{\dfrac{1-\tfrac{11}{20}}{2}}=\sqrt{\dfrac{9}{40}}=\dfrac{3}{2\sqrt{10}}=\dfrac{3\sqrt{10}}{20}$ .

Значит $\dfrac\varphi2=\operatorname{arcsin}\dfrac{3\sqrt{10}}{20}$ , и искомый угол $\varphi=2\operatorname{arcsin}\dfrac{3\sqrt{10}}{20}$ .

Ответ

$2\text{arcsin} \left( \dfrac{3\sqrt{10}}{20} \right)$ .