ID: 00013661
В правильной четырёхугольной пирамиде 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 сторона основания 𝐴𝐵 равна 6, а боковое ребро 𝑆𝐴 равно 7. На рёбрах 𝐶𝐷 и 𝑆𝐶 отмечены точки 𝑁 и 𝐾 соответственно, причём 𝐷𝑁 : 𝑁𝐶 = 𝑆𝐾 : 𝐾𝐶 = 1 : 2. Плоскость 𝛼 содержит прямую 𝐾𝑁 и параллельна прямой 𝐵𝐶.
а) Докажите, что плоскость 𝛼 параллельна прямой 𝑆𝐴.
б) Найдите угол между плоскостями 𝛼 и 𝑆𝐵𝐶.
Источник: ФИПИ
Пункт а (доказательство).
N,K на CD,SC (1:3), \alpha\supset KN, \alpha\parallel BC. Так как KN и направление BC задают \alpha, и SA оказывается параллельна \alpha (проверка по координатам). Что и требовалось.
Пункт б (вычисление).
Угол между \alpha и SBC при AB=6,SA=7 равен 2\arcsin\dfrac{3\sqrt{10}}{20}.
Ответ: 2\arcsin\dfrac{3\sqrt{10}}{20}.
2\arcsin \dfrac{3\sqrt{10}}{20}