Задание 14 ЕГЭ по математике: Сечением прямоугольного параллелепипеда ABCDA индекс 1 B индекс…

Разберёмся, как проходит секущая плоскость. Она содержит диагональ параллелепипеда BD_1 и при этом параллельна диагонали основания AC. Сечение получилось ромбом — и именно из этого факта мы вытащим форму основания.

Сначала поймём, какой именно четырёхугольник получается в сечении. Обозначим O — центр параллелепипеда, то есть середину диагонали BD_1 (все диагонали параллелепипеда проходят через одну точку и делятся ею пополам). Точка O лежит и в плоскости \alpha, и в диагональной плоскости ACC_1A_1 (ведь O — ещё и середина диагонали AC_1). Значит эти две плоскости пересекаются, и линия их пересечения проходит через O.

Так как \alpha параллельна прямой AC, а плоскость ACC_1A_1 содержит AC, линия их пересечения параллельна AC. Обозначим её MK: в прямоугольнике ACC_1A_1 это отрезок, параллельный стороне AC и проходящий через центр, то есть средняя линия. Значит M — середина ребра AA_1, а K — середина ребра CC_1.

Итого сечение — четырёхугольник BMD_1K: его стороны лежат в четырёх боковых гранях, а диагоналями служат отрезки BD_1 и MK.

Пункт а (доказательство).

Шаг 1. По условию сечение — ромб, а у ромба диагонали перпендикулярны. Значит MK\perp BD_1. Но MK\parallel AC, поэтому и AC\perp BD_1.

Шаг 2. Ребро DD_1 перпендикулярно плоскости основания (параллелепипед прямоугольный), а значит перпендикулярно любой прямой этой плоскости, в частности DD_1\perp AC.

Шаг 3. Итак, прямая AC перпендикулярна двум пересекающимся прямым BD_1 и DD_1, лежащим в плоскости BDD_1. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости AC\perp плоскости BDD_1, а значит AC перпендикулярна и любой прямой этой плоскости, в том числе диагонали основания BD.

Шаг 4. Грань ABCD прямоугольного параллелепипеда — прямоугольник, и мы получили, что его диагонали перпендикулярны. У прямоугольника диагонали равны и делятся точкой пересечения пополам; если они к тому же перпендикулярны, то все четыре половинки равны и попарно перпендикулярны, а тогда все стороны прямоугольника равны. Прямоугольник с равными сторонами — квадрат.

Значит ABCD — квадрат. Что и требовалось доказать.

Пункт б (вычисление).

По доказанному основание — квадрат со стороной AB=AD=4, высота AA_1=6.

Введём координаты: A(0;0;0), B(4;0;0), C(4;4;0), D(0;4;0), а верхние вершины получаются добавлением z=6, в частности D_1(0;4;6).

Из разбора выше M — середина AA_1, то есть M(0;0;3), а K — середина CC_1, то есть K(4;4;3).

Найдём вектор нормали к плоскости \alpha (нормаль — вектор, перпендикулярный плоскости). Возьмём два вектора, лежащих в \alpha:

\vec{BM}=(0-4;\ 0-0;\ 3-0)=(-4;0;3) и \vec{BK}=(4-4;\ 4-0;\ 3-0)=(0;4;3).

Их векторное произведение и даст нормаль:

\vec{n}=\vec{BM}\times\vec{BK}=(0\cdot3-3\cdot4;\ 3\cdot0-(-4)\cdot3;\ (-4)\cdot4-0\cdot0)=(-12;\ 12;\ -16).

Сократим на -4 и возьмём \vec{n}=(3;-3;4). Проверим себя: \vec{n}\cdot\vec{BM}=3\cdot(-4)+(-3)\cdot0+4\cdot3=-12+12=0 и \vec{n}\cdot\vec{BK}=3\cdot0+(-3)\cdot4+4\cdot3=-12+12=0 — всё верно.

Теперь плоскость BCC_1. В наших координатах у точек B, C, C_1 первая координата одинакова и равна 4, то есть это плоскость x=4, и её нормаль — вектор \vec{m}=(1;0;0).

Угол между плоскостями находят через косинус угла между их нормалями, взятый по модулю:

\cos\varphi=\dfrac{|\vec{n}\cdot\vec{m}|}{|\vec{n}|\cdot|\vec{m}|}=\dfrac{|3\cdot1+(-3)\cdot0+4\cdot0|}{\sqrt{3^2+(-3)^2+4^2}\cdot1}=\dfrac{3}{\sqrt{9+9+16}}=\dfrac{3}{\sqrt{34}}.

Ответ можно оставить в виде арккосинуса, но приятнее перейти к тангенсу. Если \cos\varphi=\dfrac{3}{\sqrt{34}}, то \sin\varphi=\sqrt{1-\dfrac{9}{34}}=\sqrt{\dfrac{25}{34}}=\dfrac{5}{\sqrt{34}}, и тогда

\mathrm{tg}\,\varphi=\dfrac{\sin\varphi}{\cos\varphi}=\dfrac{5}{3}.

Значит искомый угол равен \mathrm{arctg}\,\dfrac53.

Прикинем: \dfrac53\gt1, поэтому угол больше 45^\circ, примерно 59^\circ — правдоподобно, ведь секущая плоскость довольно круто наклонена к боковой грани.