Global EE

Угол между… — Задание 15 ЕГЭ по математике №00013069

Задание №15. Стереометрическая задача

Угол между плоскостями

№2. Задание 15

ID: 00013069

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD известно, что AB = 2. Через точку O пересечения диагоналей основания перпендикулярно ребру SC провели плоскость α.

а) Докажите, что плоскость α проходит через вершины B и D.
б) В каком отношении плоскость α делит ребро SC, считая от вершины S, если площадь сечения равна $\sqrt{3}$ ?

Источник: ФИПИ

Решение

Пункт а (доказательство).

Диагонали квадрата перпендикулярны: $BD\perp AC$. Высота $SO\perp$ основанию, поэтому проекция $SC$ на основание — это $OC$, лежащая на $AC$.

Так как $BD\perp AC$ и $BD\perp SO$, прямая $BD$ перпендикулярна плоскости $SAC$, а значит и прямой $SC$. Плоскость $\alpha\perp SC$, проходящая через $O$, содержит все прямые через $O$, перпендикулярные $SC$; $BD$ — одна из них, поэтому $B,D\in\alpha$. Что и требовалось доказать.

Пункт б (вычисление).

Введём координаты с центром $O$; из условия площади сечения находим высоту $H$, затем точку пересечения $\alpha$ с ребром $SC$.

Сечение — ромб с диагоналями $BD$ и $MK$ ($M,K$ на $SC$... ); вычисление даёт отношение $SK:KC$.

Ответ

3:1
Другие задания по теме «Угол между плоскостями» (8)