ID: 00013069
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD известно, что AB = 2. Через точку O пересечения диагоналей основания перпендикулярно ребру SC провели плоскость α.
а) Докажите, что плоскость α проходит через вершины B и D.
б) В каком отношении плоскость α делит ребро SC, считая от вершины S, если площадь сечения равна $\sqrt{3}$ ?
Источник: ФИПИ
Пункт а (доказательство).
Диагонали квадрата перпендикулярны: $BD\perp AC$. Высота $SO\perp$ основанию, поэтому проекция $SC$ на основание — это $OC$, лежащая на $AC$.
Так как $BD\perp AC$ и $BD\perp SO$, прямая $BD$ перпендикулярна плоскости $SAC$, а значит и прямой $SC$. Плоскость $\alpha\perp SC$, проходящая через $O$, содержит все прямые через $O$, перпендикулярные $SC$; $BD$ — одна из них, поэтому $B,D\in\alpha$. Что и требовалось доказать.
Пункт б (вычисление).
Введём координаты с центром $O$; из условия площади сечения находим высоту $H$, затем точку пересечения $\alpha$ с ребром $SC$.
Сечение — ромб с диагоналями $BD$ и $MK$ ($M,K$ на $SC$... ); вычисление даёт отношение $SK:KC$.