а) Введём координаты: A в начале, ось x — вдоль AB, ось y — вдоль AD, ось z — вдоль AA_1.

Расставим точки. EA = \dfrac{2}{3} \cdot 6 = 4, поэтому E(0;0;4). FB = \dfrac{5}{6} \cdot 6 = 5, поэтому F(2;0;5). T — середина B_1C_1: T(2;3;6). Вершина D_1(0;6;6).

Смотрим на векторы: \overrightarrow{FT} = (0;3;1), а \overrightarrow{ED_1} = (0;6;2) = 2\overrightarrow{FT}. Векторы пропорциональны, значит, прямые FT и ED_1 параллельны.

Две параллельные прямые лежат в одной плоскости; она проходит через E, F, T, то есть это и есть плоскость EFT. Прямая ED_1 лежит в ней целиком, поэтому D_1 принадлежит плоскости EFT. Доказано.

б) Угол между плоскостями удобно искать через их нормали.

Нормаль плоскости EFT перпендикулярна векторам \overrightarrow{EF} = (2;0;1) и \overrightarrow{FT} = (0;3;1). Подойдёт \vec{n} = (-3;-2;6): проверяем, \vec{n} \cdot \overrightarrow{EF} = -6 + 0 + 6 = 0 и \vec{n} \cdot \overrightarrow{FT} = 0 - 6 + 6 = 0 — всё сходится.

Плоскость AA_1B_1 — это грань ABB_1A_1, в наших координатах плоскость y = 0 с нормалью \vec{m} = (0;1;0).

Косинус угла между плоскостями равен модулю косинуса угла между нормалями: |\vec{n}| = \sqrt{9 + 4 + 36} = 7, поэтому \cos\varphi = \dfrac{|{-2}|}{7 \cdot 1} = \dfrac{2}{7}.

Переходим к тангенсу: \sin\varphi = \sqrt{1 - \dfrac{4}{49}} = \sqrt{\dfrac{45}{49}} = \dfrac{3\sqrt{5}}{7}, значит, \operatorname{tg}\varphi = \dfrac{3\sqrt{5}}{2}.

Ответ: угол равен \operatorname{arctg}\dfrac{3\sqrt{5}}{2}.