Угол между… — Задание 15 ЕГЭ по математике №00022255

а) Введём координаты: $A$ в начале, ось $x$ — вдоль $AB$, ось $y$ — вдоль $AD$, ось $z$ — вдоль $AA_1$.

Расставим точки. $EA = \dfrac{2}{3} \cdot 6 = 4$, поэтому $E(0;0;4)$. $FB = \dfrac{5}{6} \cdot 6 = 5$, поэтому $F(2;0;5)$. $T$ — середина $B_1C_1$: $T(2;3;6)$. Вершина $D_1(0;6;6)$.

Смотрим на векторы: $\overrightarrow{FT} = (0;3;1)$, а $\overrightarrow{ED_1} = (0;6;2) = 2\overrightarrow{FT}$. Векторы пропорциональны, значит, прямые $FT$ и $ED_1$ параллельны.

Две параллельные прямые лежат в одной плоскости; она проходит через $E$, $F$, $T$, то есть это и есть плоскость $EFT$. Прямая $ED_1$ лежит в ней целиком, поэтому $D_1$ принадлежит плоскости $EFT$. Доказано.

б) Угол между плоскостями удобно искать через их нормали.

Нормаль плоскости $EFT$ перпендикулярна векторам $\overrightarrow{EF} = (2;0;1)$ и $\overrightarrow{FT} = (0;3;1)$. Подойдёт $\vec{n} = (-3;-2;6)$: проверяем, $\vec{n} \cdot \overrightarrow{EF} = -6 + 0 + 6 = 0$ и $\vec{n} \cdot \overrightarrow{FT} = 0 - 6 + 6 = 0$ — всё сходится.

Плоскость $AA_1B_1$ — это грань $ABB_1A_1$, в наших координатах плоскость $y = 0$ с нормалью $\vec{m} = (0;1;0)$.

Косинус угла между плоскостями равен модулю косинуса угла между нормалями: $|\vec{n}| = \sqrt{9 + 4 + 36} = 7$, поэтому $\cos\varphi = \dfrac{|{-2}|}{7 \cdot 1} = \dfrac{2}{7}$.

Переходим к тангенсу: $\sin\varphi = \sqrt{1 - \dfrac{4}{49}} = \sqrt{\dfrac{45}{49}} = \dfrac{3\sqrt{5}}{7}$, значит, $\operatorname{tg}\varphi = \dfrac{3\sqrt{5}}{2}$.