Задание 17 ЕГЭ по математике: Окружность, вписанная в равнобедренную трапецию ABCD , касается…

Разберёмся с чертежом. ABCD — равнобедренная трапеция: основания BC и AD параллельны, боковые стороны AB и CD равны. В неё вписана окружность, то есть окружность касается всех четырёх сторон; боковой стороны CD она касается в точке M. Из вершины A проведён луч через точку M: окружность он пересекает ещё в одной точке N (она ближе к A, так как AN=4, а дальше идёт M), а прямую BC — в точке K.

Сразу заметим: AM=AN+NM=4+12=16.

Ещё одно наблюдение про вписанную окружность в равнобедренной трапеции: её центр лежит на оси симметрии трапеции, то есть на серединном перпендикуляре к основанию AD. Радиус в точку касания перпендикулярен стороне, поэтому точка касания на основании AD — это основание перпендикуляра из центра, то есть середина AD. Обозначим её через P; тогда AP=PD=\dfrac{AD}{2}.

Пункт а. Докажем, что \angle AMD=\angle MCK.

Используем степень точки A относительно окружности. Из точки A проведены секущая, пересекающая окружность в точках N и M, и касательная, касающаяся её в точке P. Для них верно: AN\cdot AM=AP^2.

Подставим числа: AP^2=4\cdot 16=64, значит, AP=8. Но AP=\dfrac{AD}{2}, поэтому AD=2\cdot 8=16.

Получилось, что AD=16 и AM=16, то есть треугольник AMD равнобедренный с боковыми сторонами AD и AM. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, а основание здесь — MD, поэтому \angle AMD=\angle ADM.

Точка M лежит на стороне CD, поэтому \angle ADM=\angle ADC, то есть \angle AMD=\angle ADC.

Теперь разберёмся с углом \angle MCK. Луч AM выходит из точки A внутрь трапеции и покидает её через боковую сторону CD в точке M; за точкой M он оказывается уже вне трапеции, по другую сторону от прямой CD. Прямую BC он встречает в точке K, лежащей на продолжении стороны BC за точку C.

Значит, лучи CK и CB противоположны, и угол \angle MCK дополняет угол \angle MCB=\angle DCB до развёрнутого: \angle MCK=180^{\circ}-\angle DCB.

Но AD\parallel BC, а CD — секущая, поэтому односторонние углы \angle ADC и \angle DCB в сумме дают 180^{\circ}: \angle ADC=180^{\circ}-\angle DCB.

Сравнивая две последние строчки, получаем \angle MCK=\angle ADC=\angle AMD. Доказано.

Пункт б. Найдём основания трапеции.

Одно основание уже найдено в пункте а: AD=16.

Обозначим второе основание BC=b и вспомним свойство описанного около окружности четырёхугольника: суммы противоположных сторон равны, то есть AB+CD=BC+AD. Боковые стороны равны, поэтому 2CD=BC+AD и CD=\dfrac{BC+AD}{2}=\dfrac{b+16}{2}.

Найдём длину DM. Отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны, поэтому из вершины D отрезки касательных к точкам P и M равны: DM=DP=\dfrac{AD}{2}=8.

Теперь применим теорему косинусов в треугольнике AMD, где AD=16, DM=8, AM=16, а угол между сторонами AD и DM — это как раз угол \angle ADC: AM^2=AD^2+DM^2-2\cdot AD\cdot DM\cdot\cos\angle ADC.

Подставим: 256=256+64-2\cdot 16\cdot 8\cdot\cos\angle ADC, то есть 0=64-256\cos\angle ADC.

Отсюда \cos\angle ADC=\dfrac{64}{256}=\dfrac14.

С другой стороны, косинус угла при основании легко выразить через стороны трапеции. Опустим из вершины C перпендикуляр на основание AD. В равнобедренной трапеции такой перпендикуляр отсекает от основания кусок длиной \dfrac{AD-BC}{2} — это катет, прилежащий к углу \angle ADC, а гипотенузой служит боковая сторона CD.

Значит, \cos\angle ADC=\dfrac{\dfrac{AD-BC}{2}}{CD}=\dfrac{\dfrac{16-b}{2}}{\dfrac{16+b}{2}}=\dfrac{16-b}{16+b}.

Приравниваем к найденному значению: \dfrac{16-b}{16+b}=\dfrac14.

Перемножим крест-накрест: 4\left(16-b\right)=16+b, то есть 64-4b=16+b, откуда 5b=48 и b=9{,}6.

Итак, основания равны BC=9{,}6 и AD=16.

Проверим себя: боковая сторона равна \dfrac{9{,}6+16}{2}=12{,}8, высота трапеции равна \sqrt{12{,}8^2-3{,}2^2}=\sqrt{163{,}84-10{,}24}=\sqrt{153{,}6}\approx 12{,}39, а радиус вписанной окружности — половина высоты, около 6{,}2. Хорда MN=12 меньше диаметра 12{,}39 — противоречия нет.