Задание 18 ЕГЭ по математике №00028799

Разберёмся с чертежом. $ABCD$ — равнобедренная трапеция: основания $BC$ и $AD$ параллельны, боковые стороны $AB$ и $CD$ равны. В неё вписана окружность, то есть окружность касается всех четырёх сторон; боковой стороны $CD$ она касается в точке $M$. Из вершины $A$ проведён луч через точку $M$: окружность он пересекает ещё в одной точке $N$ (она ближе к $A$, так как $AN=4$, а дальше идёт $M$), а прямую $BC$ — в точке $K$.

Сразу заметим: $AM=AN+NM=4+12=16$.

Ещё одно наблюдение про вписанную окружность в равнобедренной трапеции: её центр лежит на оси симметрии трапеции, то есть на серединном перпендикуляре к основанию $AD$. Радиус в точку касания перпендикулярен стороне, поэтому точка касания на основании $AD$ — это основание перпендикуляра из центра, то есть середина $AD$. Обозначим её через $P$; тогда $AP=PD=\dfrac{AD}{2}$.

Пункт а. Докажем, что $\angle AMD=\angle MCK$.

Используем степень точки $A$ относительно окружности. Из точки $A$ проведены секущая, пересекающая окружность в точках $N$ и $M$, и касательная, касающаяся её в точке $P$. Для них верно: $AN\cdot AM=AP^2$.

Подставим числа: $AP^2=4\cdot 16=64$, значит, $AP=8$. Но $AP=\dfrac{AD}{2}$, поэтому $AD=2\cdot 8=16$.

Получилось, что $AD=16$ и $AM=16$, то есть треугольник $AMD$ равнобедренный с боковыми сторонами $AD$ и $AM$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, а основание здесь — $MD$, поэтому $\angle AMD=\angle ADM$.

Точка $M$ лежит на стороне $CD$, поэтому $\angle ADM=\angle ADC$, то есть $\angle AMD=\angle ADC$.

Теперь разберёмся с углом $\angle MCK$. Луч $AM$ выходит из точки $A$ внутрь трапеции и покидает её через боковую сторону $CD$ в точке $M$; за точкой $M$ он оказывается уже вне трапеции, по другую сторону от прямой $CD$. Прямую $BC$ он встречает в точке $K$, лежащей на продолжении стороны $BC$ за точку $C$.

Значит, лучи $CK$ и $CB$ противоположны, и угол $\angle MCK$ дополняет угол $\angle MCB=\angle DCB$ до развёрнутого: $\angle MCK=180^{\circ}-\angle DCB$.

Но $AD\parallel BC$, а $CD$ — секущая, поэтому односторонние углы $\angle ADC$ и $\angle DCB$ в сумме дают $180^{\circ}$: $\angle ADC=180^{\circ}-\angle DCB$.

Сравнивая две последние строчки, получаем $\angle MCK=\angle ADC=\angle AMD$. Доказано.

Пункт б. Найдём основания трапеции.

Одно основание уже найдено в пункте а: $AD=16$.

Обозначим второе основание $BC=b$ и вспомним свойство описанного около окружности четырёхугольника: суммы противоположных сторон равны, то есть $AB+CD=BC+AD$. Боковые стороны равны, поэтому $2CD=BC+AD$ и $CD=\dfrac{BC+AD}{2}=\dfrac{b+16}{2}$.

Найдём длину $DM$. Отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны, поэтому из вершины $D$ отрезки касательных к точкам $P$ и $M$ равны: $DM=DP=\dfrac{AD}{2}=8$.

Теперь применим теорему косинусов в треугольнике $AMD$, где $AD=16$, $DM=8$, $AM=16$, а угол между сторонами $AD$ и $DM$ — это как раз угол $\angle ADC$: $AM^2=AD^2+DM^2-2\cdot AD\cdot DM\cdot\cos\angle ADC$.

Подставим: $256=256+64-2\cdot 16\cdot 8\cdot\cos\angle ADC$, то есть $0=64-256\cos\angle ADC$.

Отсюда $\cos\angle ADC=\dfrac{64}{256}=\dfrac14$.

С другой стороны, косинус угла при основании легко выразить через стороны трапеции. Опустим из вершины $C$ перпендикуляр на основание $AD$. В равнобедренной трапеции такой перпендикуляр отсекает от основания кусок длиной $\dfrac{AD-BC}{2}$ — это катет, прилежащий к углу $\angle ADC$, а гипотенузой служит боковая сторона $CD$.

Значит, $\cos\angle ADC=\dfrac{\dfrac{AD-BC}{2}}{CD}=\dfrac{\dfrac{16-b}{2}}{\dfrac{16+b}{2}}=\dfrac{16-b}{16+b}$.

Приравниваем к найденному значению: $\dfrac{16-b}{16+b}=\dfrac14$.

Перемножим крест-накрест: $4\left(16-b\right)=16+b$, то есть $64-4b=16+b$, откуда $5b=48$ и $b=9{,}6$.

Итак, основания равны $BC=9{,}6$ и $AD=16$.

Проверим себя: боковая сторона равна $\dfrac{9{,}6+16}{2}=12{,}8$, высота трапеции равна $\sqrt{12{,}8^2-3{,}2^2}=\sqrt{163{,}84-10{,}24}=\sqrt{153{,}6}\approx 12{,}39$, а радиус вписанной окружности — половина высоты, около $6{,}2$. Хорда $MN=12$ меньше диаметра $12{,}39$ — противоречия нет.