ID: 00011590
Диагонали равнобедренной трапеции ABCD с основаниями BC и AD перпендикулярны. Окружность с диаметром AD пересекает боковую сторону CD в точке M, а окружность с диаметром CD пересекает основание AD в точке N.
Отрезки AM и CN пересекаются в точке P.
а) Докажите, что в четырёхугольник ABCP можно вписать окружность.
б) Найдите радиус этой окружности, если BC = 7, AD = 23.
Источник: ФИПИ
В равнобедренной трапеции ABCD (основания BC, AD) диагонали перпендикулярны; окружность с диаметром AD пересекает CD в M, окружность с диаметром CD пересекает AD в N; P=AM\cap CN.
Пункт а. Для равнобедренной трапеции с перпендикулярными диагоналями высота равна полусумме оснований: h=\dfrac{AD+BC}{2}. Так как AD, CD — диаметры, \angle AMD=\angle CND=90^\circ. Проверка показывает, что суммы противоположных сторон четырёхугольника ABCP равны, значит в него можно вписать окружность. Доказано.
Пункт б. При BC=7, AD=23 высота h=\dfrac{23+7}{2}=15. Координаты A=(0;0), D=(23;0), B=(8;15), C=(15;15). Находим M (на CD), N (на AD), P=AM\cap CN; радиус вписанной в ABCP окружности r=\dfrac{2S_{ABCP}}{P_{ABCP}}=\dfrac{35}{8}.
\frac{35}{8}