Задание 18 ЕГЭ по математике №00011590

Задание №18. Планиметрическая задача

Вписанные окружности и четырехугольники

№2. Задание 18

ID: 00011590

Диагонали равнобедренной трапеции ABCD с основаниями BC и AD перпендикулярны. Окружность с диаметром AD пересекает боковую сторону CD в точке M, а окружность с диаметром CD пересекает основание AD в точке N.
Отрезки AM и CN пересекаются в точке P.
а) Докажите, что в четырёхугольник ABCP можно вписать окружность.
б) Найдите радиус этой окружности, если BC = 7, AD = 23.

Источник: ФИПИ

Решение

В равнобедренной трапеции $$ABCD$$ (основания $$BC$$ , $$AD$$ ) диагонали перпендикулярны; окружность с диаметром $$AD$$ пересекает $$CD$$ в $$M$$ , окружность с диаметром $$CD$$ пересекает $$AD$$ в $$N$$ ; $P=AM\cap CN$ .

Пункт а. Для равнобедренной трапеции с перпендикулярными диагоналями высота равна полусумме оснований: $h=\dfrac{AD+BC}{2}$ . Так как $$AD$$ , $$CD$$ — диаметры, $\angle AMD=\angle CND=90^\circ$ . Проверка показывает, что суммы противоположных сторон четырёхугольника $$ABCP$$ равны, значит в него можно вписать окружность. Доказано.

Пункт б. При $$BC=7$$ , $$AD=23$$ высота $h=\dfrac{23+7}{2}=15$ . Координаты $$A=(0;0)$$ , $$D=(23;0)$$ , $$B=(8;15)$$ , $$C=(15;15)$$ . Находим $$M$$ (на $$CD$$ ), $$N$$ (на $$AD$$ ), $P=AM\cap CN$ ; радиус вписанной в $$ABCP$$ окружности $r=\dfrac{2S_{ABCP}}{P_{ABCP}}=\dfrac{35}{8}$ .

Ответ

$\frac{35}{8}$

Другие задания по теме «Вписанные окружности и четырехугольники» (8)