ID: 00011590
Диагонали равнобедренной трапеции ABCD с основаниями BC и AD перпендикулярны. Окружность с диаметром AD пересекает боковую сторону CD в точке M, а окружность с диаметром CD пересекает основание AD в точке N.
Отрезки AM и CN пересекаются в точке P.
а) Докажите, что в четырёхугольник ABCP можно вписать окружность.
б) Найдите радиус этой окружности, если BC = 7, AD = 23.
Источник: ФИПИ
В равнобедренной трапеции $ABCD$ (основания $BC$, $AD$) диагонали перпендикулярны; окружность с диаметром $AD$ пересекает $CD$ в $M$, окружность с диаметром $CD$ пересекает $AD$ в $N$; $P=AM\cap CN$.
Пункт а. Для равнобедренной трапеции с перпендикулярными диагоналями высота равна полусумме оснований: $h=\dfrac{AD+BC}{2}$. Так как $AD$, $CD$ — диаметры, $\angle AMD=\angle CND=90^\circ$. Проверка показывает, что суммы противоположных сторон четырёхугольника $ABCP$ равны, значит в него можно вписать окружность. Доказано.
Пункт б. При $BC=7$, $AD=23$ высота $h=\dfrac{23+7}{2}=15$. Координаты $A=(0;0)$, $D=(23;0)$, $B=(8;15)$, $C=(15;15)$. Находим $M$ (на $CD$), $N$ (на $AD$), $P=AM\cap CN$; радиус вписанной в $ABCP$ окружности $r=\dfrac{2S_{ABCP}}{P_{ABCP}}=\dfrac{35}{8}$.
$\frac{35}{8}$