ID: 00011593
Окружность, вписанная в равнобедренную трапецию ABCD, касается её боковой стороны CD в точке M. Луч AM вторично пересекает окружность в точке N, а прямую BC — в точке K, причём AN = 4, MN = 12.
а) Докажите, что ∠AMD = ∠MCK.
б) Найдите меньшее основание трапеции.
Источник: ФИПИ
В равнобедренную трапецию ABCD вписана окружность, касающаяся CD в M; луч AM вторично пересекает окружность в N и прямую BC в K; AN=4, MN=12.
Пункт а. Угол между касательной CD и хордой MN равен вписанному углу на MN; через это и BC\parallel AD получаем \angle AMD=\angle MCK. Доказано.
Пункт б. Свойство касательной и секущей из A: AN\cdot AM=t^2 (квадрат касательной). AM=AN+NM=4+12=16, поэтому t^2=4\cdot16=64. Для равнобедренной тангенциальной трапеции с основаниями a=AD, b=BC радиус r=\dfrac{\sqrt{ab}}{2}, а касательные выражаются через a, b. Система с AN=4, MN=12 даёт меньшее основание BC=9{,}6.
9,6