Задание 18 ЕГЭ по математике №00011593

Задание №18. Планиметрическая задача

Вписанные окружности и четырехугольники

№2. Задание 18

ID: 00011593

Окружность, вписанная в равнобедренную трапецию ABCD, касается её боковой стороны CD в точке M. Луч AM вторично пересекает окружность в точке N, а прямую BC — в точке K, причём AN = 4, MN = 12.
а) Докажите, что ∠AMD = ∠MCK.
б) Найдите меньшее основание трапеции.

Источник: ФИПИ

Решение

В равнобедренную трапецию $$ABCD$$ вписана окружность, касающаяся $$CD$$ в $$M$$ ; луч $$AM$$ вторично пересекает окружность в $$N$$ и прямую $$BC$$ в $$K$$ ; $$AN=4$$ , $$MN=12$$ .

Пункт а. Угол между касательной $$CD$$ и хордой $$MN$$ равен вписанному углу на $$MN$$ ; через это и $BC\parallel AD$ получаем $\angle AMD=\angle MCK$ . Доказано.

Пункт б. Свойство касательной и секущей из $$A$$ : $AN\cdot AM=t^2$ (квадрат касательной). $$AM=AN+NM=4+12=16$$ , поэтому $t^2=4\cdot16=64$ . Для равнобедренной тангенциальной трапеции с основаниями $$a=AD$$ , $$b=BC$$ радиус $r=\dfrac{\sqrt{ab}}{2}$ , а касательные выражаются через $$a$$ , $$b$$ . Система с $$AN=4$$ , $$MN=12$$ даёт меньшее основание $$BC=9{,}6$$ .

Ответ

9,6

Другие задания по теме «Вписанные окружности и четырехугольники» (8)