ID: 00011593
Окружность, вписанная в равнобедренную трапецию ABCD, касается её боковой стороны CD в точке M. Луч AM вторично пересекает окружность в точке N, а прямую BC — в точке K, причём AN = 4, MN = 12.
а) Докажите, что ∠AMD = ∠MCK.
б) Найдите меньшее основание трапеции.
Источник: ФИПИ
В равнобедренную трапецию $ABCD$ вписана окружность, касающаяся $CD$ в $M$; луч $AM$ вторично пересекает окружность в $N$ и прямую $BC$ в $K$; $AN=4$, $MN=12$.
Пункт а. Угол между касательной $CD$ и хордой $MN$ равен вписанному углу на $MN$; через это и $BC\parallel AD$ получаем $\angle AMD=\angle MCK$. Доказано.
Пункт б. Свойство касательной и секущей из $A$: $AN\cdot AM=t^2$ (квадрат касательной). $AM=AN+NM=4+12=16$, поэтому $t^2=4\cdot16=64$. Для равнобедренной тангенциальной трапеции с основаниями $a=AD$, $b=BC$ радиус $r=\dfrac{\sqrt{ab}}{2}$, а касательные выражаются через $a$, $b$. Система с $AN=4$, $MN=12$ даёт меньшее основание $BC=9{,}6$.
9,6