ID: 00009092
Окружность, вписанная в квадрат $ABCD$, касается его стороны $AB$ в точке $K$, а стороны $AD$ в точке $E$. Отрезки $CK$ и $CE$ пересекают окружность в точках $M$ и $P$ соответственно.
a) Докажите, что прямые $EK$ и $MP$ параллельны.
б) Найдите $ME$, если сторона квадрата равна $30$.
Источник: ФИПИ
Вписанная в квадрат $ABCD$ окружность касается $AB$ в $K$, $AD$ в $E$; отрезки $CK$, $CE$ вторично пересекают окружность в $M$, $P$.
Пункт а. Конфигурация симметрична относительно диагонали $AC$: точки $K$, $E$ симметричны, как и $M$, $P$. Хорды $EK$ и $MP$ обе перпендикулярны оси $AC$, поэтому $EK\parallel MP$. Доказано.
Пункт б. Координаты: $A=(0;0)$, $B=(30;0)$, $C=(30;30)$, $D=(0;30)$; центр $O=(15;15)$, $R=15$. Точки касания $K=(15;0)$, $E=(0;15)$. Прямая $CK$ через $(30;30)$ и $(15;0)$ пересекает окружность вторично в $M$; решая, находим $M$, затем $ME=9\sqrt{10}$.
$9\sqrt{10}$.