Задание 18 ЕГЭ по математике №00009092

Задание №18. Планиметрическая задача

Вписанные окружности и четырехугольники

№2. Задание 18

ID: 00009092

Окружность, вписанная в квадрат $$ABCD$$ , касается его стороны $$AB$$ в точке $$K$$ , а стороны $$AD$$ в точке $$E$$ . Отрезки $$CK$$ и $$CE$$ пересекают окружность в точках $$M$$ и $$P$$ соответственно.

a) Докажите, что прямые $$EK$$ и $$MP$$ параллельны.

б) Найдите $$ME$$ , если сторона квадрата равна $$30$$ .

Источник: ФИПИ

Решение

Вписанная в квадрат $$ABCD$$ окружность касается $$AB$$ в $$K$$ , $$AD$$ в $$E$$ ; отрезки $$CK$$ , $$CE$$ вторично пересекают окружность в $$M$$ , $$P$$ .

Пункт а. Конфигурация симметрична относительно диагонали $$AC$$ : точки $$K$$ , $$E$$ симметричны, как и $$M$$ , $$P$$ . Хорды $$EK$$ и $$MP$$ обе перпендикулярны оси $$AC$$ , поэтому $EK\parallel MP$ . Доказано.

Пункт б. Координаты: $$A=(0;0)$$ , $$B=(30;0)$$ , $$C=(30;30)$$ , $$D=(0;30)$$ ; центр $$O=(15;15)$$ , $$R=15$$ . Точки касания $$K=(15;0)$$ , $$E=(0;15)$$ . Прямая $$CK$$ через $$(30;30)$$ и $$(15;0)$$ пересекает окружность вторично в $$M$$ ; решая, находим $$M$$ , затем $ME=9\sqrt{10}$ .

Ответ

$9\sqrt{10}$ .

Видеоразбор

Другие задания по теме «Вписанные окружности и четырехугольники» (8)