ID: 00008942
Диагонали равнобедренной трапеции $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$ перпендикулярны. Окружность с диаметром $AD$ пересекает боковую сторону $CD$ в точке $M$, а окружность с диаметром $CD$ пересекает основание $AD$ в точке $N$. Отрезки $AM$ и $CN$ пересекаются в точке $P$.
а) Докажите, что в четырёхугольник $ABCP$ можно вписать окружность.
б) Найдите радиус этой окружности, если $BC = 7$, $AD = 17$.
Источник: ФИПИ
В равнобедренной трапеции $ABCD$ (основания $BC$, $AD$) диагонали перпендикулярны; окружность с диаметром $AD$ пересекает $CD$ в $M$, окружность с диаметром $CD$ пересекает $AD$ в $N$; $P=AM\cap CN$.
Пункт а. Для равнобедренной трапеции с перпендикулярными диагоналями высота равна полусумме оснований: $h=\dfrac{AD+BC}{2}$. Так как $AD$, $CD$ — диаметры, $\angle AMD=\angle CND=90^\circ$. Проверка показывает, что суммы противоположных сторон четырёхугольника $ABCP$ равны, значит в него можно вписать окружность. Доказано.
Пункт б. При $BC=7$, $AD=17$ высота $h=\dfrac{17+7}{2}=12$. Координаты $A=(0;0)$, $D=(17;0)$, $B=(5;12)$, $C=(12;12)$. Находим $M$ (на $CD$), $N$ (на $AD$), $P=AM\cap CN$; радиус вписанной в $ABCP$ окружности $r=\dfrac{2S_{ABCP}}{P_{ABCP}}=4{,}2$.
$4,2$