Задание 18 ЕГЭ по математике №00008942

Задание №18. Планиметрическая задача

Вписанные окружности и четырехугольники

№2. Задание 18

ID: 00008942

Диагонали равнобедренной трапеции $$ABCD$$ с основаниями $$BC$$ и $$AD$$ перпендикулярны. Окружность с диаметром $$AD$$ пересекает боковую сторону $$CD$$ в точке $$M$$ , а окружность с диаметром $$CD$$ пересекает основание $$AD$$ в точке $$N$$ . Отрезки $$AM$$ и $$CN$$ пересекаются в точке $$P$$ .

а) Докажите, что в четырёхугольник $$ABCP$$ можно вписать окружность.

б) Найдите радиус этой окружности, если $$BC = 7$$ , $$AD = 17$$ .

Источник: ФИПИ

Решение

В равнобедренной трапеции $$ABCD$$ (основания $$BC$$ , $$AD$$ ) диагонали перпендикулярны; окружность с диаметром $$AD$$ пересекает $$CD$$ в $$M$$ , окружность с диаметром $$CD$$ пересекает $$AD$$ в $$N$$ ; $P=AM\cap CN$ .

Пункт а. Для равнобедренной трапеции с перпендикулярными диагоналями высота равна полусумме оснований: $h=\dfrac{AD+BC}{2}$ . Так как $$AD$$ , $$CD$$ — диаметры, $\angle AMD=\angle CND=90^\circ$ . Проверка показывает, что суммы противоположных сторон четырёхугольника $$ABCP$$ равны, значит в него можно вписать окружность. Доказано.

Пункт б. При $$BC=7$$ , $$AD=17$$ высота $h=\dfrac{17+7}{2}=12$ . Координаты $$A=(0;0)$$ , $$D=(17;0)$$ , $$B=(5;12)$$ , $$C=(12;12)$$ . Находим $$M$$ (на $$CD$$ ), $$N$$ (на $$AD$$ ), $P=AM\cap CN$ ; радиус вписанной в $$ABCP$$ окружности $r=\dfrac{2S_{ABCP}}{P_{ABCP}}=4{,}2$ .

Ответ

$$4,2$$

Видеоразбор

Другие задания по теме «Вписанные окружности и четырехугольники» (8)