ID: 00013166
Окружность, вписанная в квадрат ABCD, касается его стороны AB в точке K, а стороны AD в точке E. Отрезки CK и CE пересекают окружность в точках M и P соответственно.
a) Докажите, что прямые EK и MP параллельны.
б) Найдите ME, если сторона квадрата равна 30
Источник: ФИПИ
Вписанная в квадрат $ABCD$ окружность касается $AB$ в $K$, $AD$ в $E$; отрезки $CK$, $CE$ вторично пересекают окружность в $M$, $P$.
Пункт а. Конфигурация симметрична относительно диагонали $AC$: точки $K$, $E$ симметричны, как и $M$, $P$. Хорды $EK$ и $MP$ обе перпендикулярны оси $AC$, поэтому $EK\parallel MP$. Доказано.
Пункт б. Координаты: $A=(0;0)$, $B=(30;0)$, $C=(30;30)$, $D=(0;30)$; центр $O=(15;15)$, $R=15$. Точки касания $K=(15;0)$, $E=(0;15)$. Прямая $CK$ через $(30;30)$ и $(15;0)$ пересекает окружность вторично в $M$; решая, находим $M$, затем $ME=9\sqrt{10}$.
9 $\sqrt{10}$