ID: 00013166
Окружность, вписанная в квадрат ABCD, касается его стороны AB в точке K, а стороны AD в точке E. Отрезки CK и CE пересекают окружность в точках M и P соответственно.
a) Докажите, что прямые EK и MP параллельны.
б) Найдите ME, если сторона квадрата равна 30
Источник: ФИПИ
Вписанная в квадрат ABCD окружность касается AB в K, AD в E; отрезки CK, CE вторично пересекают окружность в M, P.
Пункт а. Конфигурация симметрична относительно диагонали AC: точки K, E симметричны, как и M, P. Хорды EK и MP обе перпендикулярны оси AC, поэтому EK\parallel MP. Доказано.
Пункт б. Координаты: A=(0;0), B=(30;0), C=(30;30), D=(0;30); центр O=(15;15), R=15. Точки касания K=(15;0), E=(0;15). Прямая CK через (30;30) и (15;0) пересекает окружность вторично в M; решая, находим M, затем ME=9\sqrt{10}.
9 \sqrt{10}