Задание 18 ЕГЭ по математике №00002493

Пусть $O$ — центр вписанной окружности, $r$ — её радиус. Окружность касается сторон $AB$, $AD$, $CD$ в точках $F$, $P$, $K$. Обозначим угол ромба $\angle BAD=2\beta$.

Пункт а. Докажем, что $FP\parallel BD$.

Из вершины $A$ к окружности проведены две касательные — в точки $F$ и $P$. Отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны, поэтому $AF=AP$.

Значит, треугольник $AFP$ равнобедренный с вершиной $A$. В равнобедренном треугольнике биссектриса угла при вершине перпендикулярна основанию, поэтому биссектриса угла $A$ перпендикулярна $FP$.

Биссектриса угла $A$ ромба лежит на диагонали $AC$, поэтому $FP\perp AC$.

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны, поэтому $BD\perp AC$.

Две прямые $FP$ и $BD$ перпендикулярны одной прямой $AC$, значит, они параллельны: $FP\parallel BD$. Доказано.

Пункт б. Найдём $BD$, если $FP=12$, $PK=5$.

Точки $F$ и $P$ — точки касания на сторонах угла $A$ (раствор $2\beta$). Длина отрезка между ними: $FP=2r\cos\beta$.

Точки $P$ и $K$ — точки касания на сторонах угла $D$. У ромба $\angle ADC=180^\circ-2\beta$, поэтому половина этого угла равна $90^\circ-\beta$, и $PK=2r\cos(90^\circ-\beta)=2r\sin\beta$.

Сложим квадраты: $FP^2+PK^2=(2r\cos\beta)^2+(2r\sin\beta)^2=4r^2(\cos^2\beta+\sin^2\beta)=4r^2$.

Подставим числа: $12^2+5^2=144+25=169$, поэтому $4r^2=169$, откуда $2r=13$.

Теперь найдём $\cos\beta=\dfrac{FP}{2r}=\dfrac{12}{13}$.

Диагональ $BD$ выражается через радиус и угол: $BD=\dfrac{2r}{\cos\beta}$ (это вторая диагональ ромба, проходящая через вершины $B$ и $D$).

Подставим: $BD=\dfrac{13}{\;12/13\;}=13\cdot\dfrac{13}{12}=\dfrac{169}{12}$.