ID: 00002493
Окружность с центром в точке O вписана в ромб ABCD и касается его сторон AB, CD и AD соответственно в точках F, K и P.
a) Докажите, что прямая FP параллельна диагонали ромба BD.
б) Найдите длину диагонали BD, если известно, что FP=12 и PK=5.
Источник: ФИПИ
Пусть O — центр вписанной окружности, r — её радиус. Окружность касается сторон AB, AD, CD в точках F, P, K. Обозначим угол ромба \angle BAD=2\beta.
Пункт а. Докажем, что FP\parallel BD.
Из вершины A к окружности проведены две касательные — в точки F и P. Отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны, поэтому AF=AP.
Значит, треугольник AFP равнобедренный с вершиной A. В равнобедренном треугольнике биссектриса угла при вершине перпендикулярна основанию, поэтому биссектриса угла A перпендикулярна FP.
Биссектриса угла A ромба лежит на диагонали AC, поэтому FP\perp AC.
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны, поэтому BD\perp AC.
Две прямые FP и BD перпендикулярны одной прямой AC, значит, они параллельны: FP\parallel BD. Доказано.
Пункт б. Найдём BD, если FP=12, PK=5.
Точки F и P — точки касания на сторонах угла A (раствор 2\beta). Длина отрезка между ними: FP=2r\cos\beta.
Точки P и K — точки касания на сторонах угла D. У ромба \angle ADC=180^\circ-2\beta, поэтому половина этого угла равна 90^\circ-\beta, и PK=2r\cos(90^\circ-\beta)=2r\sin\beta.
Сложим квадраты: FP^2+PK^2=(2r\cos\beta)^2+(2r\sin\beta)^2=4r^2(\cos^2\beta+\sin^2\beta)=4r^2.
Подставим числа: 12^2+5^2=144+25=169, поэтому 4r^2=169, откуда 2r=13.
Теперь найдём \cos\beta=\dfrac{FP}{2r}=\dfrac{12}{13}.
Диагональ BD выражается через радиус и угол: BD=\dfrac{2r}{\cos\beta} (это вторая диагональ ромба, проходящая через вершины B и D).
Подставим: BD=\dfrac{13}{\;12/13\;}=13\cdot\dfrac{13}{12}=\dfrac{169}{12}.
б) 169/12