ID: 00009026
В основании прямой призмы ABCD A_1 B_1 C_1 D_1 лежит равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD = 5 и BC = 3. Точка M делит ребро A_1 D_1 в отношении A_1 M : M D_1 = 2 : 3, а точка K – середина ребра DD_1.
а) Докажите, что плоскость MKC параллельна прямой BD.
б) Найдите тангенс угла между плоскостью MKC и плоскостью основания призмы, если \angle MKC = 90^\circ, \angle ADC = 60^\circ.
Источник: ФИПИ
Сначала разберём основание — равнобедренную трапецию ABCD с AD=5, BC=3, \angle ADC=60^\circ. Положим A=(0;0;0), D=(5;0;0). Боковые «свесы» по 1 с каждой стороны (так как \tfrac{5-3}{2}=1), а высота трапеции из угла 60^\circ равна \sqrt3 (потому что \operatorname{tg}60^\circ=\sqrt3 при горизонтальном свесе 1). Тогда B=(1;\sqrt3;0), C=(4;\sqrt3;0).
Высоту призмы обозначим H (пока неизвестна): A_1=(0;0;H), D_1=(5;0;H). Точка M делит A_1D_1 как 2:3 от A_1, значит M=(2;0;H). Точка K — середина DD_1, то есть K=\left(5;0;\tfrac H2\right).
Пункт а. Покажем, что плоскость MKC параллельна BD. Для этого её нормаль должна быть перпендикулярна \overrightarrow{BD}. Нормаль \vec n=\overrightarrow{KM}\times\overrightarrow{KC}, где \overrightarrow{KM}=\left(-3;0;\tfrac H2\right), \overrightarrow{KC}=\left(-1;\sqrt3;-\tfrac H2\right).
Векторное произведение: \vec n=\left(-\dfrac{\sqrt3 H}{2};\,-2H;\,-3\sqrt3\right). А \overrightarrow{BD}=D-B=(4;-\sqrt3;0).
Проверяем: \vec n\cdot\overrightarrow{BD}=\left(-\dfrac{\sqrt3 H}{2}\right)\cdot4+(-2H)\cdot(-\sqrt3)+(-3\sqrt3)\cdot0=-2\sqrt3 H+2\sqrt3 H=0. Произведение нулевое при любом H, значит MKC\parallel BD, что и требовалось доказать.
Пункт б. Условие \angle MKC=90^\circ означает \overrightarrow{KM}\perp\overrightarrow{KC}, то есть их скалярное произведение равно нулю: \overrightarrow{KM}\cdot\overrightarrow{KC}=(-3)(-1)+0\cdot\sqrt3+\dfrac H2\cdot\left(-\dfrac H2\right)=3-\dfrac{H^2}{4}=0.
Отсюда H^2=12, H=2\sqrt3. Подставим в нормаль: \vec n=\left(-\dfrac{\sqrt3\cdot2\sqrt3}{2};-2\cdot2\sqrt3;-3\sqrt3\right)=(-3;-4\sqrt3;-3\sqrt3).
Угол между плоскостью MKC и основанием — это угол наклона нормали к вертикали. Удобно так: \operatorname{tg}\varphi=\dfrac{\sqrt{n_x^2+n_y^2}}{|n_z|} (горизонтальная часть нормали, делённая на вертикальную).
Горизонтальная часть: \sqrt{(-3)^2+(-4\sqrt3)^2}=\sqrt{9+48}=\sqrt{57}; вертикальная |n_z|=3\sqrt3. Значит \operatorname{tg}\varphi=\dfrac{\sqrt{57}}{3\sqrt3}=\dfrac{\sqrt{57}\cdot\sqrt3}{9}=\dfrac{\sqrt{171}}{9}=\dfrac{3\sqrt{19}}{9}=\dfrac{\sqrt{19}}{3}.
\dfrac{\sqrt{19}}{3}.