ID: 00009026
В основании прямой призмы $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ лежит равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD = 5$ и $BC = 3$. Точка $M$ делит ребро $A_1 D_1$ в отношении $A_1 M : M D_1 = 2 : 3$, а точка $K$ – середина ребра $DD_1$.
а) Докажите, что плоскость $MKC$ параллельна прямой $BD$.
б) Найдите тангенс угла между плоскостью $MKC$ и плоскостью основания призмы, если $\angle MKC = 90^\circ$, $\angle ADC = 60^\circ$.
Источник: ФИПИ
Сначала разберём основание — равнобедренную трапецию $ABCD$ с $AD=5$, $BC=3$, $\angle ADC=60^\circ$. Положим $A=(0;0;0)$, $D=(5;0;0)$. Боковые «свесы» по $1$ с каждой стороны (так как $\tfrac{5-3}{2}=1$), а высота трапеции из угла $60^\circ$ равна $\sqrt3$ (потому что $\operatorname{tg}60^\circ=\sqrt3$ при горизонтальном свесе $1$). Тогда $B=(1;\sqrt3;0)$, $C=(4;\sqrt3;0)$.
Высоту призмы обозначим $H$ (пока неизвестна): $A_1=(0;0;H)$, $D_1=(5;0;H)$. Точка $M$ делит $A_1D_1$ как $2:3$ от $A_1$, значит $M=(2;0;H)$. Точка $K$ — середина $DD_1$, то есть $K=\left(5;0;\tfrac H2\right)$.
Пункт а. Покажем, что плоскость $MKC$ параллельна $BD$. Для этого её нормаль должна быть перпендикулярна $\overrightarrow{BD}$. Нормаль $\vec n=\overrightarrow{KM}\times\overrightarrow{KC}$, где $\overrightarrow{KM}=\left(-3;0;\tfrac H2\right)$, $\overrightarrow{KC}=\left(-1;\sqrt3;-\tfrac H2\right)$.
Векторное произведение: $\vec n=\left(-\dfrac{\sqrt3 H}{2};\,-2H;\,-3\sqrt3\right)$. А $\overrightarrow{BD}=D-B=(4;-\sqrt3;0)$.
Проверяем: $\vec n\cdot\overrightarrow{BD}=\left(-\dfrac{\sqrt3 H}{2}\right)\cdot4+(-2H)\cdot(-\sqrt3)+(-3\sqrt3)\cdot0=-2\sqrt3 H+2\sqrt3 H=0$. Произведение нулевое при любом $H$, значит $MKC\parallel BD$, что и требовалось доказать.
Пункт б. Условие $\angle MKC=90^\circ$ означает $\overrightarrow{KM}\perp\overrightarrow{KC}$, то есть их скалярное произведение равно нулю: $\overrightarrow{KM}\cdot\overrightarrow{KC}=(-3)(-1)+0\cdot\sqrt3+\dfrac H2\cdot\left(-\dfrac H2\right)=3-\dfrac{H^2}{4}=0$.
Отсюда $H^2=12$, $H=2\sqrt3$. Подставим в нормаль: $\vec n=\left(-\dfrac{\sqrt3\cdot2\sqrt3}{2};-2\cdot2\sqrt3;-3\sqrt3\right)=(-3;-4\sqrt3;-3\sqrt3)$.
Угол между плоскостью $MKC$ и основанием — это угол наклона нормали к вертикали. Удобно так: $\operatorname{tg}\varphi=\dfrac{\sqrt{n_x^2+n_y^2}}{|n_z|}$ (горизонтальная часть нормали, делённая на вертикальную).
Горизонтальная часть: $\sqrt{(-3)^2+(-4\sqrt3)^2}=\sqrt{9+48}=\sqrt{57}$; вертикальная $|n_z|=3\sqrt3$. Значит $\operatorname{tg}\varphi=\dfrac{\sqrt{57}}{3\sqrt3}=\dfrac{\sqrt{57}\cdot\sqrt3}{9}=\dfrac{\sqrt{171}}{9}=\dfrac{3\sqrt{19}}{9}=\dfrac{\sqrt{19}}{3}$.
$\dfrac{\sqrt{19}}{3}$.