Задание 3 ЕГЭ по математике: Шар вписан в цилиндр. Площадь полной поверхности цилиндра равна…

№2. Задание 3

ID: 00028709

Шар вписан в цилиндр. Площадь полной поверхности цилиндра равна 21. Найдите площадь поверхности шара.

Источник: ФИПИ

Решение

Шар вписан в цилиндр — значит, он касается и боковой поверхности, и обоих оснований. Отсюда радиус шара равен радиусу цилиндра $R$ , а высота цилиндра равна диаметру шара: $h=2R$ .

Полная поверхность цилиндра складывается из боковой поверхности и двух оснований:

$S_{цил}=2\pi Rh+2\pi R^2.$

Подставим $h=2R$ :

$S_{цил}=2\pi R\cdot2R+2\pi R^2=4\pi R^2+2\pi R^2=6\pi R^2.$

По условию $S_{цил}=21$ , значит:

$6\pi R^2=21\;\Rightarrow\;\pi R^2=\dfrac{21}{6}=3{,}5.$

Площадь поверхности шара — $4\pi R^2$ . Мы уже знаем $\pi R^2$ , поэтому просто умножим на 4:

$S_{шара}=4\cdot3{,}5=14.$

Ответ