ID: 00013766
Найдите все значения $a$, при каждом из которых система неравенств $\begin{cases}ax\ge2\\ \sqrt{x-1}\gt a\\ 3x\le2a+11\end{cases}$ имеет хотя бы одно решение на отрезке $[3;4]$.
Источник: ФИПИ
Нужно, чтобы система $\begin{cases}ax\ge2\\ \sqrt{x-1}\gt a\\ 3x\le2a+11\end{cases}$ имела хотя бы одно решение на отрезке $[3;4]$. Разберём, что требует каждое неравенство, и найдём, при каких $a$ всё совместимо.
Первое: $ax\ge2$. Если $a\le0$, то на $[3;4]$ левая часть $\le0\lt 2$ — невозможно. Значит $a\gt 0$, и $a\ge\dfrac2x$. Самое мягкое требование при наибольшем $x=4$: $a\ge\dfrac24=\dfrac12$. Так получается нижняя граница $a\ge\dfrac12$.
Второе: $\sqrt{x-1}\gt a$. На $[3;4]$ величина $\sqrt{x-1}$ не больше $\sqrt3$ (в точке $x=4$). Чтобы хоть какой-то $x$ дал $\sqrt{x-1}\gt a$, нужно $a\lt \sqrt3$. При $a=\sqrt3$ строгое неравенство уже не выполнить — значит верхняя граница строгая.
Третье: $3x\le2a+11$, то есть $x\le\dfrac{2a+11}{3}$. На рассматриваемых $a$ это условие мягкое (для $a\ge\tfrac12$ правая часть $\ge4$, так что годятся $x$ вплоть до правого конца).
Проверяем, что при $a\in\left[\dfrac12;\sqrt3\right)$ подходящий $x$ действительно существует (например, около $x=4$ первое и третье выполнены, а второе $\sqrt3\gt a$ ещё держится), а при $a=\sqrt3$ — нет.
$\left[\dfrac12;\,\sqrt3\right)$