ID: 00013614
Дан параллелограмм ABCD c острым углом DAB. В нем опущены высоты BP и BQ на стороны AD и CD соответственно. На стороне AD отмечена точка M так, что AM = BP. Известно, что AB = BQ.
а) Докажите, что BM = PQ.
б) Найдите площадь треугольника APQ если AM = BP = 21; AB = BQ = 29
Источник: ФИПИ
В параллелограмме $ABCD$ высоты $BP$ (на $AD$) и $BQ$ (на $CD$); точка $M$ на $AD$ с $AM=BP$; $AB=BQ$.
Пункт а. Треугольники $MAB$ и $PBQ$ равны ($AM=BP$, $AB=BQ$, равные углы), поэтому $BM=PQ$. Доказано.
Пункт б. Найдём площадь $APQ$, если $AM=BP=21$, $AB=BQ=29$.
В прямоугольном треугольнике $ABP$: $AP=\sqrt{AB^2-BP^2}=\sqrt{29^2-21^2}=\sqrt{841-441}=\sqrt{400}=20$.
Высота $QH$ треугольника $BQP$: из равенства треугольников $ABP$ и $BQH$ имеем $BH=AP=20$, тогда $PH=BP-BH=21-20=1$.
Площадь $APQ$ равна площади $APH$: $S=\dfrac12\cdot AP\cdot PH=\dfrac12\cdot 20\cdot 1=10$.
10