ID: 00013614
Дан параллелограмм ABCD c острым углом DAB. В нем опущены высоты BP и BQ на стороны AD и CD соответственно. На стороне AD отмечена точка M так, что AM = BP. Известно, что AB = BQ.
а) Докажите, что BM = PQ.
б) Найдите площадь треугольника APQ если AM = BP = 21; AB = BQ = 29
Источник: ФИПИ
В параллелограмме ABCD высоты BP (на AD) и BQ (на CD); точка M на AD с AM=BP; AB=BQ.
Пункт а. Треугольники MAB и PBQ равны (AM=BP, AB=BQ, равные углы), поэтому BM=PQ. Доказано.
Пункт б. Найдём площадь APQ, если AM=BP=21, AB=BQ=29.
В прямоугольном треугольнике ABP: AP=\sqrt{AB^2-BP^2}=\sqrt{29^2-21^2}=\sqrt{841-441}=\sqrt{400}=20.
Высота QH треугольника BQP: из равенства треугольников ABP и BQH имеем BH=AP=20, тогда PH=BP-BH=21-20=1.
Площадь APQ равна площади APH: S=\dfrac12\cdot AP\cdot PH=\dfrac12\cdot 20\cdot 1=10.
10