ID: 00013608
Прямая, перпендикулярная стороне 𝐵𝐶 ромба 𝐴𝐵𝐶𝐷, пересекает его диагональ 𝐴𝐶 в точке 𝑀, а диагональ 𝐵𝐷 в точке 𝑁, причем 𝐴𝑀:𝑀𝐶 = 1:2, 𝐵𝑁:𝑁𝐷 = 1:3.
а) Докажите, что cos∠𝐵𝐴𝐷 = 1/5
б) Найдите площадь ромба, если 𝑀𝑁 = 5.
Источник: ФИПИ
В ромбе ABCD прямая, перпендикулярная стороне BC, пересекает диагональ AC в точке M (AM:MC=1:2) и диагональ BD в точке N (BN:ND=1:3).
Пункт а. Докажем, что \cos\angle BAD=\dfrac{1}{5}.
Поместим центр ромба в начало координат, диагонали — на оси: A=(-p;0), C=(p;0), B=(0;-q), D=(0;q) (где 2p=AC, 2q=BD).
Косинус угла при вершине A: \cos\angle BAD=\dfrac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}}{|AB|\,|AD|}. Здесь \overrightarrow{AB}=(p;-q), \overrightarrow{AD}=(p;q), поэтому \cos\angle BAD=\dfrac{p^2-q^2}{p^2+q^2}.
Точка M на AC с AM:MC=1:2: M=A+\dfrac13(C-A)=\left(-p+\dfrac{2p}{3};0\right)=\left(-\dfrac{p}{3};0\right).
Прямая через M перпендикулярна BC; найдём её пересечение с BD (ось y). Направление BC=(p;q), перпендикуляр (-q;p). Точка N=\left(0;\,-\dfrac{p^2}{3q}\right).
Условие BN:ND=1:3: при B=(0;-q), D=(0;q) точка, делящая 1:3, имеет ординату -q+\dfrac14\cdot 2q=-\dfrac{q}{2}. Значит -\dfrac{p^2}{3q}=-\dfrac{q}{2}, откуда p^2=\dfrac{3}{2}q^2.
Подставим: \cos\angle BAD=\dfrac{p^2-q^2}{p^2+q^2}=\dfrac{1{,}5q^2-q^2}{1{,}5q^2+q^2}=\dfrac{0{,}5}{2{,}5}=\dfrac{1}{5}. Доказано.
Пункт б. Найдём площадь ромба, если MN=5.
MN^2=\left(\dfrac{p}{3}\right)^2+\left(\dfrac{q}{2}\right)^2=\dfrac{p^2}{9}+\dfrac{q^2}{4}. Подставим p^2=\dfrac{3}{2}q^2: MN^2=\dfrac{1{,}5q^2}{9}+\dfrac{q^2}{4}=\dfrac{q^2}{6}+\dfrac{q^2}{4}=\dfrac{2q^2+3q^2}{12}=\dfrac{5q^2}{12}.
Из MN=5: \dfrac{5q^2}{12}=25, значит q^2=60, а p^2=\dfrac{3}{2}\cdot 60=90.
Площадь ромба равна половине произведения диагоналей: S=\dfrac12\cdot 2p\cdot 2q=2pq=2\sqrt{90}\cdot\sqrt{60}=2\sqrt{5400}.
Упростим: 5400=900\cdot 6, поэтому \sqrt{5400}=30\sqrt6, и S=2\cdot 30\sqrt6=60\sqrt6.
60\sqrt{6}