Вычисление… — Задание 7 ЕГЭ по математике №00013379

В знаменателе стоят синусы углов $68^{\circ}$ и $22^{\circ}$, которые в сумме дают $90^{\circ}$. Это подсказка применить формулу приведения и сделать углы одинаковыми.

Заменим $\sin 22^{\circ}$ через косинус дополнительного угла:

$$\sin 22^{\circ}=\sin\left(90^{\circ}-68^{\circ}\right)=\cos 68^{\circ}$$

Тогда знаменатель превращается в произведение синуса и косинуса одного угла:

$$\sin 68^{\circ}\cdot\sin 22^{\circ}=\sin 68^{\circ}\cdot\cos 68^{\circ}$$

А такое произведение — это половина синуса двойного угла, ведь по формуле $\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$ получаем $\sin\alpha\cos\alpha=\tfrac{1}{2}\sin 2\alpha$. При $\alpha=68^{\circ}$ двойной угол равен $136^{\circ}$:

$$\sin 68^{\circ}\cdot\cos 68^{\circ}=\dfrac{1}{2}\sin 136^{\circ}$$

Подставим это в исходное выражение и сократим $\sin 136^{\circ}$:

$$\dfrac{2\sin 136^{\circ}}{\tfrac{1}{2}\sin 136^{\circ}}=\dfrac{2}{\tfrac{1}{2}}=4$$

Типичная ошибка — забыть формулу приведения и не заметить, что $68^{\circ}$ и $22^{\circ}$ дополняют друг друга до $90^{\circ}$; без этого шага углы в знаменателе не сворачиваются.