В треугольнике ABC точки A индекс 1, B индекс 1 и C индекс 1 — середины сторон BC, AC и AB соответственно, AH — высота, ∠BAC = 120°, ∠BCA = 15°. а) Докажите, что точки A индекс 1, B индекс 1, C индекс 1 и H лежат на одной окружности. б) Найдите A1H, если BC = 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента.

Окружности… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00011583

Задание №18. Планиметрическая задача

Окружности и треугольники

№2. Задание 18

ID: 00011583

В треугольнике ABC точки $$A_1$$ , $$B_1$$ и $$C_1$$ — середины сторон BC, AC и AB соответственно, AH — высота, ∠BAC = 120°, ∠BCA = 15°.
а) Докажите, что точки $$A_1$$ , $$B_1$$ , $$C_1$$ и H лежат на одной окружности.
б) Найдите A1H, если BC = $4\sqrt{3}$ .

Источник: ФИПИ

Решение

В треугольнике $$ABC$$ точки $$A_1$$ , $$B_1$$ , $$C_1$$ — середины сторон $$BC$$ , $$AC$$ , $$AB$$ ; $$AH$$ — высота; $\angle BAC=120^\circ$ , $\angle BCA=15^\circ$ .

Пункт а. Докажем, что $$A_1$$ , $$B_1$$ , $$C_1$$ , $$H$$ лежат на одной окружности.

Середины сторон $$A_1$$ , $$B_1$$ , $$C_1$$ и основания высот треугольника лежат на одной окружности — это известная окружность девяти точек.

Точка $$H$$ — основание высоты из $$A$$ , поэтому она тоже принадлежит этой окружности. Значит, четыре точки $$A_1$$ , $$B_1$$ , $$C_1$$ , $$H$$ концикличны. Доказано.

Пункт б. Найдём $$A_1H$$ , если $BC=4\sqrt3$ .

$$A_1$$ — середина $$BC$$ , $$H$$ — основание высоты из $$A$$ на $$BC$$ . Расстояние между ними: $A_1H=\left|\dfrac{BC}{2}-BH\right|$ , где $BH=AB\cos\angle B$ (проекция $$AB$$ на $$BC$$ ).

Угол $\angle B=180^\circ-120^\circ-15^\circ=45^\circ$ . По теореме синусов $AB=BC\cdot\dfrac{\sin\angle C}{\sin\angle A}=BC\cdot\dfrac{\sin 15^\circ}{\sin 120^\circ}$ .

Подставив $BC=4\sqrt3$ и вычислив, получаем $$A_1H=2$$ .

Ответ

Другие задания по теме «Окружности и треугольники» (8)