ID: 00011583
В треугольнике ABC точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ — середины сторон BC, AC и AB соответственно, AH — высота, ∠BAC = 120°, ∠BCA = 15°.
а) Докажите, что точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ и H лежат на одной окружности.
б) Найдите A1H, если BC = $4\sqrt{3}$.
Источник: ФИПИ
В треугольнике $ABC$ точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ — середины сторон $BC$, $AC$, $AB$; $AH$ — высота; $\angle BAC=120^\circ$, $\angle BCA=15^\circ$.
Пункт а. Докажем, что $A_1$, $B_1$, $C_1$, $H$ лежат на одной окружности.
Середины сторон $A_1$, $B_1$, $C_1$ и основания высот треугольника лежат на одной окружности — это известная окружность девяти точек.
Точка $H$ — основание высоты из $A$, поэтому она тоже принадлежит этой окружности. Значит, четыре точки $A_1$, $B_1$, $C_1$, $H$ концикличны. Доказано.
Пункт б. Найдём $A_1H$, если $BC=4\sqrt3$.
$A_1$ — середина $BC$, $H$ — основание высоты из $A$ на $BC$. Расстояние между ними: $A_1H=\left|\dfrac{BC}{2}-BH\right|$, где $BH=AB\cos\angle B$ (проекция $AB$ на $BC$).
Угол $\angle B=180^\circ-120^\circ-15^\circ=45^\circ$. По теореме синусов $AB=BC\cdot\dfrac{\sin\angle C}{\sin\angle A}=BC\cdot\dfrac{\sin 15^\circ}{\sin 120^\circ}$.
Подставив $BC=4\sqrt3$ и вычислив, получаем $A_1H=2$.
2