В треугольнике ABC точки A индекс 1 , B индекс 1 и C индекс 1 — середины сторон BC, AC и AB соответственно, AH — высота, ∠BAC = 120°, ∠BCA = 15°. а) Докажите, что точки A индекс 1 , B индекс 1 , C индекс 1 и H лежат на одной окружности. б) Найдите A1H, если BC = 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .

Задание 17 ЕГЭ по математике: В треугольнике ABC точки A индекс 1 , B индекс 1 и C индекс 1 —…

№2. Задание 17

ID: 00011583

В треугольнике ABC точки $A_1$ , $B_1$ и $C_1$ — середины сторон BC, AC и AB соответственно, AH — высота, ∠BAC = 120°, ∠BCA = 15°.
а) Докажите, что точки $A_1$ , $B_1$ , $C_1$ и H лежат на одной окружности.
б) Найдите A1H, если BC = $4\sqrt{3}$ .

Источник: ФИПИ

Решение

В треугольнике $ABC$ точки $A_1$ , $B_1$ , $C_1$ — середины сторон $BC$ , $AC$ , $AB$ ; $AH$ — высота; $\angle BAC=120^\circ$ , $\angle BCA=15^\circ$ .

Пункт а. Докажем, что $A_1$ , $B_1$ , $C_1$ , $H$ лежат на одной окружности.

Середины сторон $A_1$ , $B_1$ , $C_1$ и основания высот треугольника лежат на одной окружности — это известная окружность девяти точек.

Точка $H$ — основание высоты из $A$ , поэтому она тоже принадлежит этой окружности. Значит, четыре точки $A_1$ , $B_1$ , $C_1$ , $H$ концикличны. Доказано.

Пункт б. Найдём $A_1H$ , если $BC=4\sqrt3$ .

$A_1$ — середина $BC$ , $H$ — основание высоты из $A$ на $BC$ . Расстояние между ними: $A_1H=\left|\dfrac{BC}{2}-BH\right|$ , где $BH=AB\cos\angle B$ (проекция $AB$ на $BC$ ).

Угол $\angle B=180^\circ-120^\circ-15^\circ=45^\circ$ . По теореме синусов $AB=BC\cdot\dfrac{\sin\angle C}{\sin\angle A}=BC\cdot\dfrac{\sin 15^\circ}{\sin 120^\circ}$ .

Подставив $BC=4\sqrt3$ и вычислив, получаем $A_1H=2$ .

№2. Задание 17

Решение

Ответ

№2. Задание 17

Решение

Ответ