Четырехуголь… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00011569

Задание №18. Планиметрическая задача

Четырехугольники и их свойства

№2. Задание 18

ID: 00011569

Дан параллелограмм ABCD с острым углом A. На продолжении стороны AD за точку D взята точка N такая, что CN = CD, а на продолжении стороны CD за точку D взята такая точка M, что AD = AM.

а) Докажите, что BM = BN.

б) Найдите MN, если AC = 7, sin $\angle$ BAD= $\frac{7}{25}$

Источник: ФИПИ

Решение

В параллелограмме $$ABCD$$ (острый угол $$A$$ ) точка $$N$$ на продолжении $$AD$$ за $$D$$ с $$CN=CD$$ , точка $$M$$ на продолжении $$CD$$ за $$D$$ с $$AD=AM$$ .

Пункт а. В параллелограмме $$AM=AD=BC$$ и $$CN=CD=AB$$ ; из равенства треугольников $$ABM$$ и $$NCB$$ получаем $$BM=BN$$ . Доказано.

Пункт б. Найдём $$MN$$ , если $$AC=7$$ , $\sin\angle BAD=\dfrac{7}{25}$ .

Как и выше, $$BM=BN=AC=7$$ , и $MN=2\cdot AC\cdot\cos\angle BAD$ .

Из $\sin\angle BAD=\dfrac{7}{25}$ : $\cos\angle BAD=\sqrt{1-\dfrac{49}{625}}=\sqrt{\dfrac{576}{625}}=\dfrac{24}{25}$ .

Тогда $MN=2\cdot 7\cdot\dfrac{24}{25}=\dfrac{336}{25}$ .

Ответ

$\frac{336}{25}$

Другие задания по теме «Четырехугольники и их свойства» (8)