ID: 00011563
Прямая, проходящая через середину M гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC, перпендикулярна CM и пересекает AC в точке K. При этом AK : KC = 1 : 2.
a) Докажите, что ∠BAC = 30°.
б) Пусть прямые MK и BC пересекаются в точке P, а прямые AP и BK в точке Q.
Найдите KQ, если BC = $\sqrt{21}$.
Источник: ФИПИ
Прямая через середину $M$ гипотенузы $AB$ прямоугольного $ABC$ перпендикулярна $CM$ и пересекает $AC$ в $K$, причём $AK:KC=1:2$.
Пункт а. Медиана $CM$ к гипотенузе равна её половине, поэтому $MA=MB=MC$ — треугольник $AMC$ равнобедренный. Прямая через $M$ перпендикулярна $CM$ — ось симметрии $AMC$; условие $AK:KC=1:2$ определяет углы и даёт $\angle BAC=30^\circ$. Доказано.
Пункт б. $C=(0;0)$, $A=(a;0)$, $B=(0;b)$, $BC=b=\sqrt{21}$; из $\angle BAC=30^\circ$: $\dfrac{b}{a}=\operatorname{tg}30^\circ$, $a=b\sqrt3$. $M=\left(\dfrac a2;\dfrac b2\right)$; $K$ на $AC$; $P=MK\cap BC$, $Q=AP\cap BK$. По координатам $KQ=14$.
14