ID: 00011563
Прямая, проходящая через середину M гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC, перпендикулярна CM и пересекает AC в точке K. При этом AK : KC = 1 : 2.
a) Докажите, что ∠BAC = 30°.
б) Пусть прямые MK и BC пересекаются в точке P, а прямые AP и BK в точке Q.
Найдите KQ, если BC = \sqrt{21}.
Источник: ФИПИ
Прямая через середину M гипотенузы AB прямоугольного ABC перпендикулярна CM и пересекает AC в K, причём AK:KC=1:2.
Пункт а. Медиана CM к гипотенузе равна её половине, поэтому MA=MB=MC — треугольник AMC равнобедренный. Прямая через M перпендикулярна CM — ось симметрии AMC; условие AK:KC=1:2 определяет углы и даёт \angle BAC=30^\circ. Доказано.
Пункт б. C=(0;0), A=(a;0), B=(0;b), BC=b=\sqrt{21}; из \angle BAC=30^\circ: \dfrac{b}{a}=\operatorname{tg}30^\circ, a=b\sqrt3. M=\left(\dfrac a2;\dfrac b2\right); K на AC; P=MK\cap BC, Q=AP\cap BK. По координатам KQ=14.
14