Треугольники… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00011563

Задание №18. Планиметрическая задача

Треугольники и их свойства

№2. Задание 18

ID: 00011563

Прямая, проходящая через середину M гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC, перпендикулярна CM и пересекает AC в точке K. При этом AK : KC = 1 : 2.
a) Докажите, что ∠BAC = 30°.
б) Пусть прямые MK и BC пересекаются в точке P, а прямые AP и BK в точке Q.
Найдите KQ, если BC = $\sqrt{21}$ .

Источник: ФИПИ

Решение

Прямая через середину $$M$$ гипотенузы $$AB$$ прямоугольного $$ABC$$ перпендикулярна $$CM$$ и пересекает $$AC$$ в $$K$$ , причём $$AK:KC=1:2$$ .

Пункт а. Медиана $$CM$$ к гипотенузе равна её половине, поэтому $$MA=MB=MC$$ — треугольник $$AMC$$ равнобедренный. Прямая через $$M$$ перпендикулярна $$CM$$ — ось симметрии $$AMC$$ ; условие $$AK:KC=1:2$$ определяет углы и даёт $\angle BAC=30^\circ$ . Доказано.

Пункт б. $$C=(0;0)$$ , $$A=(a;0)$$ , $$B=(0;b)$$ , $BC=b=\sqrt{21}$ ; из $\angle BAC=30^\circ$ : $\dfrac{b}{a}=\operatorname{tg}30^\circ$ , $a=b\sqrt3$ . $M=\left(\dfrac a2;\dfrac b2\right)$ ; $$K$$ на $$AC$$ ; $P=MK\cap BC$ , $Q=AP\cap BK$ . По координатам $$KQ=14$$ .

Ответ

Другие задания по теме «Треугольники и их свойства» (8)