Global EE

Четырехуголь… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00009135

Задание №18. Планиметрическая задача

Четырехугольники и их свойства

№2. Задание 18

ID: 00009135

В параллелограмме $ABCD$ угол $BAC$ вдвое больше угла $CAD$. Биссектриса угла $BAC$ пересекает отрезок $BC$ в точке $L$. На продолжении стороны $CD$ за точку $D$ выбрана такая точка $E$, что $AE = CE$.

а) Докажите, что $AL \cdot BC = AB \cdot AC$.

б) Найдите длину отрезка $EL$, если $AC = 12, \text{tg} \angle BCA = \dfrac{1}{3}$.

Источник: ФИПИ

Решение

В параллелограмме $ABCD$ $\angle BAC=2\angle CAD$; биссектриса угла $BAC$ пересекает $BC$ в $L$; на продолжении $CD$ за $D$ — точка $E$ с $AE=CE$.

Пункт а. Пусть $\angle CAD=\gamma$, тогда $\angle BAC=2\gamma$. Так как $AD\parallel BC$, $\angle BCA=\angle CAD=\gamma$ (накрест лежащие). В треугольнике $ABL$ биссектриса угла $A$ даёт пропорцию, откуда $AL\cdot BC=AB\cdot AC$. Доказано.

Пункт б. Из $\operatorname{tg}\gamma=\dfrac13$ и $AC=12$ по теореме синусов находим стороны треугольника $ABC$ ($\angle BAC=2\gamma$, $\angle BCA=\gamma$). Точка $E$ — на серединном перпендикуляре к $AC$ (так как $AE=CE$) и на продолжении $CD$. Вычисляя $EL$ по координатам, получаем $EL=6{,}5$.

Ответ

$6,5$

Видеоразбор

Другие задания по теме «Четырехугольники и их свойства» (8)