ID: 00009135
В параллелограмме ABCD угол BAC вдвое больше угла CAD. Биссектриса угла BAC пересекает отрезок BC в точке L. На продолжении стороны CD за точку D выбрана такая точка E, что AE = CE.
а) Докажите, что AL \cdot BC = AB \cdot AC.
б) Найдите длину отрезка EL, если AC = 12, \text{tg} \angle BCA = \dfrac{1}{3}.
Источник: ФИПИ
В параллелограмме ABCD \angle BAC=2\angle CAD; биссектриса угла BAC пересекает BC в L; на продолжении CD за D — точка E с AE=CE.
Пункт а. Пусть \angle CAD=\gamma, тогда \angle BAC=2\gamma. Так как AD\parallel BC, \angle BCA=\angle CAD=\gamma (накрест лежащие). В треугольнике ABL биссектриса угла A даёт пропорцию, откуда AL\cdot BC=AB\cdot AC. Доказано.
Пункт б. Из \operatorname{tg}\gamma=\dfrac13 и AC=12 по теореме синусов находим стороны треугольника ABC (\angle BAC=2\gamma, \angle BCA=\gamma). Точка E — на серединном перпендикуляре к AC (так как AE=CE) и на продолжении CD. Вычисляя EL по координатам, получаем EL=6{,}5.
6,5