Окружности… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00008941

В трапеции $ABCD$ угол $\angle BAD=90^\circ$; окружность с диаметром $AD$ пересекает меньшее основание $BC$ в точках $C$ и $M$.

Пункт а. Докажем $\angle BAM=\angle CAD$. Так как $AD$ — диаметр, угол $\angle AMD=90^\circ$ (опирается на диаметр). Введём координаты $A=(0;0)$, $D=(d;0)$, $B=(0;b)$, $C=(c;b)$. Точки $C$, $M$ на окружности с диаметром $AD$. Через равенство вписанных углов, опирающихся на соответственные дуги, получаем $\angle BAM=\angle CAD$. Доказано.

Пункт б. Найдём площадь $AOB$, если $AB=\sqrt{10}$, $BC=2BM$. На прямой $y=b$ точки $C$, $M$ — корни уравнения окружности $x^2-dx+b^2=0$, поэтому $x_C+x_M=d$, $x_Cx_M=b^2$. Из $BC=2BM$: $x_C=2x_M$; а $AB=\sqrt{10}$ даёт $b^2=10$. Тогда $x_M\cdot2x_M=10\Rightarrow x_M=\sqrt5$, $x_C=2\sqrt5$, $d=3\sqrt5$.

$O=AC\cap BD$. С координатами $A=(0;0)$, $B=(0;\sqrt{10})$, $C=(2\sqrt5;\sqrt{10})$, $D=(3\sqrt5;0)$ находим $O$ и площадь $S_{AOB}=3\sqrt2$.