ID: 00008938
Точки $P$, $Q$, $W$ делят стороны выпуклого четырехугольника $ABCD$ в отношении $AP : PB = CQ : QB = CW : WD = 1 : 4$, радиус окружности, описанной около треугольника $PQW$, равен $10$, $PQ = 16$, $QW = 12$, угол $\angle PWQ$ — острый.
а) Докажите, что треугольник $PQW$ — прямоугольный.
б) Найдите площадь четырёхугольника $ABCD$.
Источник: ФИПИ
Точки $P$, $Q$, $W$ делят стороны выпуклого четырёхугольника $ABCD$ так: $AP:PB=CQ:QB=CW:WD=1:4$.
Пункт а. Докажем, что треугольник $PQW$ прямоугольный.
Выразим точки через вершины: $P=\dfrac{4A+B}{5}$, $Q=\dfrac{4C+B}{5}$, $W=\dfrac{4C+D}{5}$.
Тогда $\overrightarrow{PQ}=Q-P=\dfrac{4C-4A}{5}=\dfrac45\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{QW}=W-Q=\dfrac{D-B}{5}=\dfrac15\overrightarrow{BD}$.
Дано $R=10$, $PQ=16$, $QW=12$. Проверим: $PQ^2+QW^2=256+144=400=(2R)^2$, значит $PW=2R=20$ — диаметр окружности, и вписанный угол $\angle PQW$, опирающийся на диаметр, прямой. Доказано.
Пункт б. Найдём площадь четырёхугольника $ABCD$.
Из $PQ=\dfrac45 AC=16$ получаем $AC=20$; из $QW=\dfrac15 BD=12$ получаем $BD=60$.
Прямой угол $\angle PQW$ означает $\overrightarrow{PQ}\perp\overrightarrow{QW}$, то есть $AC\perp BD$ — диагонали перпендикулярны.
Площадь четырёхугольника с перпендикулярными диагоналями: $S=\dfrac12 AC\cdot BD=\dfrac12\cdot 20\cdot 60=600$.
$600$