Точки P, Q, W делят стороны выпуклого четырехугольника ABCD в отношении AP: PB равно CQ: QB равно CW: WD равно 1: 4, радиус окружности, описанной около треугольника PQW, равен 10, PQ равно 16, QW равно 12, угол угол PWQ — острый. а) Докажите, что треугольник PQW — прямоугольный. б) Найдите площадь четырёхугольника ABCD.

Четырехуголь… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00008938

Задание №18. Планиметрическая задача

Четырехугольники и их свойства

№2. Задание 18

ID: 00008938

Точки $$P$$ , $$Q$$ , $$W$$ делят стороны выпуклого четырехугольника $$ABCD$$ в отношении $$AP : PB = CQ : QB = CW : WD = 1 : 4$$ , радиус окружности, описанной около треугольника $$PQW$$ , равен $$10$$ , $$PQ = 16$$ , $$QW = 12$$ , угол $\angle PWQ$ — острый.

а) Докажите, что треугольник $$PQW$$ — прямоугольный.

б) Найдите площадь четырёхугольника $$ABCD$$ .

Источник: ФИПИ

Решение

Точки $$P$$ , $$Q$$ , $$W$$ делят стороны выпуклого четырёхугольника $$ABCD$$ так: $$AP:PB=CQ:QB=CW:WD=1:4$$ .

Пункт а. Докажем, что треугольник $$PQW$$ прямоугольный.

Выразим точки через вершины: $P=\dfrac{4A+B}{5}$ , $Q=\dfrac{4C+B}{5}$ , $W=\dfrac{4C+D}{5}$ .

Тогда $\overrightarrow{PQ}=Q-P=\dfrac{4C-4A}{5}=\dfrac45\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{QW}=W-Q=\dfrac{D-B}{5}=\dfrac15\overrightarrow{BD}$ .

Дано $$R=10$$ , $$PQ=16$$ , $$QW=12$$ . Проверим: $$PQ^2+QW^2=256+144=400=(2R)^2$$ , значит $$PW=2R=20$$ — диаметр окружности, и вписанный угол $\angle PQW$ , опирающийся на диаметр, прямой. Доказано.

Пункт б. Найдём площадь четырёхугольника $$ABCD$$ .

Из $PQ=\dfrac45 AC=16$ получаем $$AC=20$$ ; из $QW=\dfrac15 BD=12$ получаем $$BD=60$$ .

Прямой угол $\angle PQW$ означает $\overrightarrow{PQ}\perp\overrightarrow{QW}$ , то есть $AC\perp BD$ — диагонали перпендикулярны.

Площадь четырёхугольника с перпендикулярными диагоналями: $S=\dfrac12 AC\cdot BD=\dfrac12\cdot 20\cdot 60=600$ .

Ответ

$$600$$

Видеоразбор

Другие задания по теме «Четырехугольники и их свойства» (8)